Contoh Soal Deret Geometri Tak Hingga dan Jawaban
1. Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah…
A. 168
B. 567
C. 651
D. 667
E. 735
Jawaban : B
Pembahasan :
Jumlah bilangan diantara 5 dan 100 yang habis dibagi 7 tetapi tidak habis dibagi 4 adalah :
hasil (1) – hasil (2) = 735 – 168 = 567
Jawaban : B
2. Dari suatu barisan geometri diketahui suku ke 2 adalah 34 dan suku ke 5 adalah 36. Suku ke 6 barisan tersebut adalah….
A. 108
B.120
C.128
D. 240
E. 256
Jawaban : A
Pembahasan :
3. Dari suatu deret geometri yang rasionya 2 diketahui jumlah 10 buah suku pertama sama dengan 3069. Hasil kali suku ke 4 dan ke 6 dari deret tersebut=….
A. 3069
B. 2304
C. 4236
D. 4476
E. 5675
Jawaban : B
Pembahasan :
4. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.80.000.000,- Setiap tahun nilai jualnya menjadi ¾ dari harga sebelumnya. Berapa nilai jual setelah 3 tahun . . .
A. Rp. 20.000.000,-
B. Rp. 25.312.000,-
C. Rp. 33.750.000,-
D. Rp. 35.000.000,-
E. Rp. 45.000.000,-
Jawaban : E
Pembahasan :
Diketahui harga awal = a = 80.000.000
r = ¾
Nilai jual setelah 3 tahun = suku ke 3 = U₃
5. Jumlah n suku pertama suatu deret geometri ditentukan oleh rumus Sn = 2n+2 – 4. Rasio dari deret tersebut adalah…
A. 8
B. 4
C. 2
D. ½
E. ¼
Jawaban : C
Pembahasan :
6. Jumlah deret geometri tak hingga dari :
B. 24
C. 19.2
D. 18
E. 16.9
Jawaban : B
Pembahasan :
A. x > 0
B. x < 1
C. 0<x< 1 atau x >1
D. x >2
E. 0<x< 1 atau x >2
Jawaban : D
Pembahasan :
9. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga boleh berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah..
A. 100m
B. 125m
C. 200m
D. 225m
E. 250m
Jawaban : D
Pembahasan :
Menjawab soal ini dengan membayangkan pergerakan bola pingpong tersebut yang digambarkan dengan sketsa gambarnya sebagai berikut:
Sehingga terjadi 2 kejadian deret yaitu naik dan turun
a = 20 (bukan 25, deret terjadi awalnya pada 20)
10. Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 30 dengan rasio 2/3. Suku pertama deret tersebut adalah…
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10
Jawaban : E
Pembahasan :
11. Jika rasio suatu deret geometri tak hingga adalah 2/3 dan suku pertamanya adalah 6 maka jumlah deret tersebut adalah…
A. 20
B. 18
C. 16
D. 14
E. 12
Jawaban : B
Pembahasan :
12. Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4-²n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama dengan
A. 3
B. 2
C. 1
D. ½
E. 1/3
Jawaban : E
Pembahasan :
Pembahasan :
Un = ₄-⁴-n dari persamaan ini sobat dapat menentukan :
a = U1 = 4-¹, U2 = 4-²
r = U2/U1 = 4-²/4-¹ = 4-¹= ¹/4
Sn→ ∞ = a/[1-r] =¹/4 : [1-¹4] = ¹/4 : 3/4 = ¹/4 x⁴/3 = ¹/3
13. Suku-suku suatu barisan geometri takhingga adalah positif, jumlah suku U₁+U₂= 45 dan U₃+ U₄ = 20, maka berapa jumlah suku-suku dalam barisan tersebut adalah. . .
A. 65
B. 81
C. 90
D. 135
E. 150
Jawaban : B
Pembahasan :
diketahui :
diketahui :
(Pertama) U1 + U2 = 45
→ a + ar = 45
→ a (1+r) = 45 ………….. (1)
(Kedua) U3 + U4 = 20
→ ar² + ar³ = 20
→ r² a(1+r) = 20 ……..(2)
kita substitusi persamaan (1) ke persamaan (2)
r² (45) = 20
r² = 20/45 = 4/9
r = 2/3 atau –2/3
karena suku-suku deret geometrinya diketahui positif maka r = 2/3
kita bisa menentukan nilai a
a (1+ 2/3) = 45
a x 5/35 = 45
a = 45 x 3/5
a = 27
dengan demikian jumlah suku-suku barisan geometri hingga tersebut adalah
S = a/1-r = 27/ (1-2/3) = 27 : 1/3 = 27 x 3 = 81
14. Jika jumlah takhingga deret a + a0 + a-1 + a-2 + a-3 + … adalah 4a, maka nilai a adalah
A. 4/3
B. 2
C. 3/2
D. 3
E. 4
Jawaban : A
Pembahasan :
deret dalam soal di atas adalah deret geometri dengan suku pertama (a) = a
r = 1/a dan S = 4a kita masukkan ke rumus
S = a/[1-r] 4a = a/[1-1/a] 4a = a²/[a-1] 4a [a-1] = a²
4a² – 4a = a² (masing-masing ruas di kali 1/a)
4a – 4 = a
3a = 4
a = 4/3
15. Hitunglah gambar bujur sangkar di bawah. Jika gambar tersebut diteruskan maka total jumlah luasnya adalah . . .
a. 2a²
b. 3a²
c. 4a²
d. 5a²
e. tak hingga
Jawaban : A
Pembahasan :
Luas I = a x a = a²
Luas II = ½ a²
Luas III = ¼ a²
dan seterusnya, dari deret geometri di atas terlihat nilai suku awal = a² dan rasio = ½
Sn→∞ = a/[1-r] = a²/0,5 = 2a²
16. hitunglah sebuah benda bergerak lurus dengan kecepatan tetap 4 km/jam selama 1 jam pertama. Pada jam kedua kecepatan dikurangi menjadi setengahnya, demikian seterusnya, setiap jam kecepatan menjadi setengah dari kecepatan jam sebelumnya. Berapa km jarak terjauh dari benda tersebut adalah. . .
A. tak tentu
B. tak hingga
C. 8 km
D. 10 km
E. 13 km
Jawaban : C
Pembahasan :
jarak yang ditempuh oleh sobat membentuk deret geometri 4 + 2 + 1 + ½ + ¼ + ….
a = 4
b = ½
n → ∞ = a/[1-r] = 4/[1-½] = 4/0,5 = 8 km
17. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m dan memantul kembali dengan ketinggian ¾ kali tinggi sebelumnya, begitu seterusnya hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah …
A. 65m
B. 70m
C. 75m
D. 77m
E. 80m
Jawaban : B
Pembahasan :
Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah
Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2 (kali deret tak hingga)
Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertama ya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal)Pantulan pertama = 10 x ¾ = 30/4 m (suku pertama) = 10 x 3 :30
P.Lintasan = 10 + 2(30) = 70m
18. Sebuah bola pingpong dijatuhkan dari ketinggian 25 m dan memantul kembali dengan ketinggian 4/5 kali tinggi semula. Pemantulan ini berlangsung terus menerus hingga bola berhenti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah … m.
A. 100
B. 125
C. 200
D. 225
E. 250
Jawaban : D
Pembahasan :
Karena bola memantul terus-terusan sampai berhenti, berarti ini termasuk deret geometri tak hingga. Untuk mencari panjang lintasan bola yang memantul ini, rumus yang digunakan adalah
Panjang lintasan = ketinggian bola jatuh + 2(kali deret tak hingga)
Dalam deret tak hingga ini, yang menjadi suku pertama nya adalah pantulan pertama (bukan ketinggian bola jatuh pada awal).
Pantulan pertama = 25 x 4/5 = 20m (suku pertama)
25 x 4=100
P.Lintasan = 25 + 2(100) = 225m
19. Tentukan jumlah deret tak hingga dari 16 + 8 + 4 + 2 + ......
Jawab
16 + 8 + 4 + 2 + ......
a = 16
r = 12 merupakan deret konvergen
S∞=a1−r
S∞=161−12
S∞=1612
S∞=32
20. Diketahui deret geometri tak hingga mempunyai jumlah 12. Jika rasionya adalah 13, nilai suku pertamanya adalah ...
Jawab
S∞=12
r = 13
a1−13=12
a23=12
a=12×23
a=8
21. Diketahui deret geometri tak hingga dengan jumlah 24. Jika suku pertamanya adalah 8, maka rasionya adalah ...
Jawab
S∞=24
a = 8
81−r=24
8=24−24r
−16=−24r
24r=16
r=1624
r=23
22. Tentukan nilai x agar deret geometri (x - 2) + (x -2)2 + (x - 2)3 + .... merupakan deret konvergen!
Jawab
1 + (x - 2) + (x -2)2 + (x - 2)3 + ....
r = x - 2
Syarat konvergen -1< r < 1
-1 < x - 2< 1
-1 + 2 < x < 1+2
1 < x < 3
23. Jika suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah a dan jumlahnya 6, maka nilai a yang memenuhi deret geometri tersebut adalah ....
Jawab
S∞=6
a1−r=6
a=6−6r
a−6=−6r
r=a−6−6
r=6−a6
Karena memiliki jumlah maka r bernilai -1 < r < 1
−1<6−a6<1
−6<6−a<6
−12<−a<0
12>a>0 (dikali -1 maka tanda dibalik)
0<a<12
24. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 3 + 6 + 12 + 24 + ...
Jawab
3 + 6 + 12 + 24 + ...
a = 3
r = 2
Karena nilai r > 1, maka deret ini merupakan deret divergen yang jumlah tak hingganya adalah ∞