Contoh Soal; Langkah Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara Menentukan atau Cara Mencari Akar-akar Persamaan Kuadrat. Pengertian dari akar persamaan kuadrat adalah nilai pengganti x yang memenuhi persamaan kuadrat a $x$ ² + b $x$ + c, yang biasanya dituliskan sebagai $x$ ₁ dan $x$ ₂ . Akar-akar disebut juga sebagai penyelesaian atau pemecahan. Jika akar-akarnya adalah $x$ ₁ dan $x$ ₂ , maka selalu berlaku hubungan $ax^{2}_{1}$ +b $x$ ₁+c=0 dan $ax^{2}_{2}$ +b $x$ ₂ + c = 0. Persamaan kuadrat mempunyai satu atau dua akar. Akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan tiga cara, yaitu: memfaktorkan, melengkapkan bentuk kuadrat, dan menggunakan rumus ABC.

Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

Ada beberapa cara untuk memfaktorkan persamaan kuadrat, tergantung bentuk persamaan kuadratnya. Persamaan kuadrat a $x$ ² +b $x$ ² + c = 0 dapat difaktorkan jika akar-akar persamaan kuadrat tersebut adalah rasional. Secara umum bentuk a $x$ ² +b $x$ +c=0 diubah menjadi ( $x$ − P)( $x$ − Q)=0. Bentuk-bentuk persamaan kuadrat yang mudah difaktorkan adalah:
A. Bentuk a $x$ ² +b $x$ ² =0
B. Bentuk $x$ ² +b $x$ ²+c=0
C. Bentuk a $x$ ² +b $x$ ²+c=0

A. Memfaktorkan Bentuk a $x$ ² +b $x$ =0

Bentuk a $x$ ² +b $x$ = 0 dapat dirombak menjadi $x$ (a $x$ ²+b)=0, sehingga akar-akarnya adalah $x$ ₁=0 dan

$x_{2}=\frac{-b}{a}$

Contoh soal 1.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat 2 $x$ ² −6 $x$ =0

Pembahasan:
2 $x$ ² −6 $x$ =0
$x$ ² −3 $x$ = 0
$x$ ( $x$ −3)=0
$x$ =0 atau $x$ −3=0
$x$ ₁=0 atau $x$ ² =3

Contoh soal 2.
Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3 $x$ ² +4 $x$ =0

Pembahasan:
3 $x$ ² +4 $x$ =0
$x$ (3 $x$ +4)=0
$x$ =0 atau 3 $x$ +4=0
$x$ ₁=0 atau $x^{2}=\frac{-4}{3}$

B. Memfaktorkan bentuk $x$ ² +b $x$ ²+c=0

Jika akar-akar dari $x$ ² +b $x$ +c=0 adalah rasional, maka bentuk $x$ ² +b $x$ +c=0 dapat kita ubah menjadi bentuk ( $x$ +P)(x+Q)=0. Dengan P.Q=c dan P+Q=b. Dengan bahasa sederhana: dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah c dan jika dijumlahkan hasilnya adalah b.

Contoh soal 3.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x$ ² −4 $x$ +3=0

Pembahasan:
$x$ ² −4 $x$ +3=0
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 3 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah −4. Tidak perlu berpikir keras untuk menemukan, karena jawabnya hanya membutuhkan sedikit nalar. Hal ini terpenuhi jika bilangannya adalah −1 dan −3, karena −1+−3=−4 dan (−1)×(−3)=3. Secara matematis ditulis:
P.Q=3 dan P+Q=−4
berarti P=−1 dan Q=−3
Dengan demikian faktornya menjadi:
( $x$ −1)( $x$ −3)=0
$x$ −1=0 atau $x$ −3=0
$x$ ₁=1 atau $x$ ² =3.

Contoh soal 4.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x$ ² +7 $x$ +12=0

Pembahasan:
$x$ ² +7 $x$ +12=0
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah 12 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah 7. Tentu sangat mudah untuk menentukannya bukan? Kedua bilangan tersebut pastilah 3 dan 4, karena 3×4=12 dan 3+4=7. Secara matematis ditulis:
P.Q=12 dan P+Q=7
berarti P=3 dan Q=4.
Dengan demikian faktornya menjadi:
( $x$ +3)( $x$ +4)=0
$x$ +3=0 atau $x$ +4=0.
$x$ ₁=−3 atau $x$ ² =−4.

Contoh soal 5.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat $x$ ² − $x$ −6=0

Pembahasan:
$x$ ² − $x$ −6=0
Dua bilangan jika dikalikan hasilnya adalah −6 dan jika dijumlahkan hasilnya adalah −1. So pasti bilangan tersebut adalah 2 dan −3, karena 2 $x$ −3=−6 dan 2+(−3)=−1. Secara matematis ditulis:
P.Q=−6 dan P+Q=−1
P=2 dan Q=−3
Dengan demikian faktornya menjadi:
( $x$ +2)( $x$ −3)=0
$x$ +2=0 atau $x$ −3=0
$x$ ₁=−2 atau $x$ ² =3.

C. Memfaktorkan bentuk a $x$ ²+b $x$ +c=0
Akar-akar persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 dapat dengan mudah dicari jika akar-akarnya rasional. Misalkan faktornya adalah $\frac{(ax+P+(ax+Q)}{a}=0$ , dimana: P.Q=ac dan P+Q=b.

Contoh soal 6.

Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat 2 $x$ ²− $x$ −3=0

Pembahasan:
2 $x$ ²− $x$ −3=0
P.Q=2.(−3)=−6 dan P+Q=−1
berarti P=2 dan Q=−3.
Faktornya menjadi:

$\frac{(2x+2)(2x-3)}{2}=0$

$\frac{\not 2(x+1)(2x-3)}{\not 2}=0$

( $x$ +1)(2 $x$ −3)=0
$x$ + 1 = 0 atau 2 $x$ −3=0
$x$ ₁=−1 atau $x^{2}=\frac{3}{2}$

Contoh soal 7.

Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat 3 $x$ ²−7 $x$ +4=0

Pembahasan:
3 $x$ ²−7x+4=0
P.Q=3.4=12 dan P+Q=−7
berarti P=−3 dan Q=−4.
Faktornya menjadi:

$\frac{(3x-3)(3x-4)}{3}=0$

$\frac{\not 3(x-1)(3x-4)}{\not 3}=0$

(x−1)(3x−4)=0
x−1=0 atau 3x−4=0

$x=1\; atau \; x=\frac{4}{3}$

Contoh soal 8.
Tentukanlah akar-akar persamaan kuadrat 5 $x$ ²+8 $x$ −4=0

Pembahasan:
5 $x$ ²+8 $x$ −4=0
P.Q=5.(−4)=−20 dan P+Q=8
berarti P=10 dan Q=−2.
Faktornya menjadi:

$\frac{(5x-10)(5x-2)}{5}=0$

$\frac{\not 5(x+2)(5x-2)}{\not 5}=0$

( $x$ +2)(5 $x$ −2)=0
$x$ +2=0 atau 5 $x$ −2=0

$x_{1}=-2\; atau\; x_{2}=\frac{2}{5}$

Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Kita sering menghadapi masalah ketika memfaktorkan, karena P dan Q tidak selalu mudah didapat. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan kuadrat ketika kondisi demikian bisa kita lakukan dengan cara melengkapkan bentuk-bentuk kuadrat. Jika persamaan kuadrat a $x$ +b $x$ +c=0, ubah sehingga koefisien dari $x$ ² bernilai satu dengan cara membagi persamaan kuadrat menjadi:

$x^{2}+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0$

$x^{2}+\frac{b}{a}x=-\frac{c}{a}$

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}-\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}=-\frac{c}{a}$

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{c}{a}$

$\left ( x+\frac{b}{2a} \right )^{2}=\pm \sqrt{\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{c}{a}}$

$x=-\frac{b}{2a}\pm \sqrt{\left ( \frac{b}{2a} \right )^{2}-\frac{c}{a}}$

dan seterusnya....

Supaya lebih jelas, pelajari contoh soal berikut.

Contoh soal 9.

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat 2 $x$ ²+5 $x$ +3=0

Pembahasan:
2 $x$ ²+5 $x$ +3=0

2 $x$ ²+5 $x$ =−3

$x^{2}+\frac{5}{2}x=-\frac{3}{2}$

$\left ( x+\frac{5}{4} \right )^{2}-\left ( \frac{5}{4} \right )^{2}=-\frac{3}{2}$

$\left ( x+\frac{5}{4} \right )^{2}=\left ( \frac{25}{16} \right )-\frac{24}{16}$

$\left ( x+\frac{5}{4} \right )^{2}=\frac{1}{16}$

$\left ( x+\frac{5}{4} \right )=\pm \frac{1}{4}$

$x=-\frac{5}{4}\pm \frac{1}{4}$

$x=-\frac{5}{4}+ \frac{1}{4}\; atau\; x=-\frac{5}{4}-\frac{1}{4}$

$x_{1}=-1\; atau\; x_{2}=-\frac{3}{2}$

Contoh soal 10.

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3 $x$ ²+6 $x$ +2=0

Pembahasan:
3 $x$ ²+6 $x$ +2=0
3 $x$ ²+6 $x$ =−2

$x^{2}+2x=-\frac{2}{3}$

$(x+1)^{2}-1=-\frac{2}{3}$

$(x+1)^{2}=1-\frac{2}{3}$

$(x+1)^{2}=\frac{1}{3}$

$(x+1)=\pm \sqrt{\frac{1}{3}}$

$(x+1)=\pm \frac{1}{3}\sqrt{3}$

$x_{1}=-1+\frac{1}{3}\sqrt{3}\; atau\; x_{2}=-1-\frac{1}{3}\sqrt{3}$

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC

Akar-akar persamaan kuadrat dapat dicari dengan menggunakan rumus yang disebut dengan Rumus ABC. Perhatikan rumus ABC berikut:

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

Contoh soal 11.

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat 2 $x$ ²−3 $x$ −5=0

Pembahasan:
a=2, b=−3, c=−5

$x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x_{1,2}=\frac{-(-3\pm \sqrt{(-3)^{2}-4.2(-5})}{2.2}$

$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{9+40}}{4}$

$x_{1,2}=\frac{3\pm \sqrt{49}}{4}$

$x_{1,2}=\frac{3\pm 7}{4}$

$x_{1}=\frac{3+ 7}{4}\; dan\; x=\frac{3-7}{4}$

$x_{1}=\frac{5}{2}\; dan\; x_{2}=-1$

Contoh soal 12.

Tentukanlah akar-akar dari persamaan kuadrat 3 $x$ ²+4 $x$ −4=0

Pembahasan:
3 $x$ ²+4 $x$ −4=0
a=3, b=4, c=−4

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{4^{2}-4.3.(-4)}}{2.3}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{16+48}}{6}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm \sqrt{64}}{6}$

$x_{1,2}=\frac{-4\pm8}{6}$

$x_{1}=\frac{-4+8}{6}\; dan\; x_{2}=\frac{-4-8}{6}$

$x_{1}=\frac{4}{6}\; dan\; x_{2}=-\frac{12}{6}$

$x_{1}=\frac{2}{3}\; dan\; x_{2}=-2$

Demikianlah pembahasan tentang cara menentukan akar-akar persamaan kuadrat.

Nikekuko

Contoh Soal; Langkah Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

A. Memfaktorkan Bentuk a $x$ ² +b $x$ =0

B. Memfaktorkan bentuk $x$ ² +b $x$ ²+c=0

Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC

Menu Halaman Statis

Contoh Soal; Langkah Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

Pengertian Akar-akar Persamaan Kuadrat

Cara Memfaktorkan Persamaan Kuadrat

A. Memfaktorkan Bentuk a² +b =0

B. Memfaktorkan bentuk ² +b²+c=0

Cara Melengkapkan Bentuk Kuadrat Sempurna

Cara Menentukan Akar Persamaan Kuadrat Dengan Rumus ABC

Menu Halaman Statis

A. Memfaktorkan Bentuk a $x$ ² +b $x$ =0

B. Memfaktorkan bentuk $x$ ² +b $x$ ²+c=0