25 Contoh Soal Dimensi Tiga & Pembahasan; Kelas 12
1. Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …
Jawaban :
AC = 1/2 AC = cm
.png "nikekuko.com")
2. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2. Jika bidang AFH dan CFH membagi kubus menjadi tiga buah ruang bagian, perbandingan volume ruang terkecil dengan volume kubus adalah . . . .
Jawab :
Volume kubus=
V₁ = 2.2.2 = 2³
Perhatikan gambar!!
Ruang terkecil adalah limas A.EFH atau limas C.FGH
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
3. Pada kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm, titik P adalah tepat ditengah CG, tentukan jarak titik C ke garis AP!
Jawaban :
Posisi titik C dan garis AP pada kubus sebagai berikut:
Cari panjang AP terlebih dahulu
.png "nikekuko.com")
Dilanjutkan menentukan jarak C ke AP
AP x d = AC x C
.png "nikekuko.com")
4. Panjang rusuk kubus ABCD . EFGH adalah 6 cm. Jika S adalah titik potong EG dan FH, maka jarak DH ke AS adalah …
Jawab :
HS tegak lurus DH
HS tegak lurus AS
Jadi HS = jarak DH ke AS
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
5. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 2√2 cm. Jika titik P di tengah-tengah AB dan titik Q di tengah tengah BC, maka jarak antara titik H dengan garis PQ adalah . . . . cm.
BD adalah diagonal sisi, sehingga:
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
= 4
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
= 3
Jarak antara titik H dengan garis PQ adalah HR.
HR² = DR² + DH²
.png "nikekuko.com")
= 9 + 8
= 17
.png "nikekuko.com")
6. Perhatikan gambar berikut.
Tentukan jarak antara titik S ke garis CD!
Pembahasan:
Perhatikan sisi CDHG berikut.
Berdasarkan gambar di atas, titik S diproyeksikan terhadap garis CD hingga terbentuk titik S’.
Sementara itu, jarak antara titik S ke garis CD sama dengan panjang garis SS’.
Oleh karena garis SS’ sejajar dengan rusuk kubus ABCD.EFGH, maka panjang SS’ = panjang rusuk kubus ABCD.EFGH = 8 cm.
Jadi, jarak antara titik S ke garis CD adalah 8 cm.
7. Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.
Tentukan jarak antara titik E ke diagonal BD!
Pembahasan:
Perhatikan gambar berikut.
Oleh karena EQ tegak lurus BD,maka berdasarkan gambar di atas, jarak antara titik E ke diagonal bisa dirumuskan sebagai berikut.
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
Pada segitiga EQA, siku-siku berada di A, sehingga panjangnya EQ bisa ditentukan seperti berikut.
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
Jadi, jarak antara titik E ke diagonal BD adalah 10√6 cm.
8. Sebuah balok KLMN.OPQR memiliki panjang 12 cm, lebar 5, dan tinggi 10 cm. Tentukan jarak antara titik K ke bidang LMPQ!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan dahulu balok KLMN.OPQR seperti berikut.
Berdasarkan gambar di atas, jarak antara titik K ke bidang LMPQ sama dengan panjang rusuk balok, yaitu 12 cm.
Dengan demikian, jarak antara titik K ke bidang LMPQ adalah 12 cm.
9. Sebuah limas persegi memiliki panjang sisi alas 18 cm. Sementara itu, panjang sisi tegaknya 24 cm.
Tentukan jarak antara puncak limas terhadap alasnya!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan limas persegi tersebut.
Jarak antara puncak limas dan alasnya dinyatakan sebagai TO.
Pada persegi, panjang diagonalnya merupakan hasil perkalian antara panjang sisi dan √2.
Artinya, panjang sisi AC = 18√2 cm. Berdasarkan gambar di atas, panjangnya OC bisa dirumuskan sebagai berikut.
.png)
.png)
.png)
Selanjutnya, kamu bisa mencari TO menggunakan teorema Phytagoras seperti berikut.
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Jadi, jarak antara puncak limas dan bidang alasnya adalah 3√46 cm
10. Sebuah prisma segitiga siku-siku ABC.DEF memiliki panjang sisi alas 5 cm dan sisi tegak alas 12 cm.
Jika volume prisma tersebut 600 cm³, tentukan jarak antara titik C ke titik F.
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan prismanya terlebih dahulu.
Berdasarkan gambar di atas, jarak antara titik C dan F menunjukkan tinggi prisma ABC.DEF.
Untuk mencari tinggi prismanya, gunakan persamaan volume berikut.
.png)
.png)
.png)
.png)
11. Sebuah kubus ABCD.EFGH digambarkan seperti berikut.
Jika kubus tersebut memiliki panjang sisi 4 cm, tentukan jarak antara titik G dan A!
Pembahasan:
Jarak antara titik G dan A merupakan panjang diagonal ruang kubus ABCD.EFGH.
Pertama, kamu harus menentukan panjang diagonal bidang AC.
.png)
.png)
.png)
Lalu, tentukan panjang diagonal ruangnya (titik G ke A) menggunakan persamaan berikut.
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Jadi, jarak antara titik G ke titik A adalah 4√3 cm.
12. Sebuah balok STUV.WXYZ memiliki volume 300 cm3.
Jika tinggi dan lebar baloknya berturut-turut 6 cm dan 5 cm, tentukan jarak antara garis SW dan garis TX!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan baloknya terlebih dahulu.
Berdasarkan gambar di atas, jarak antara garis SW dan garis TX sama dengan panjang baloknya.
Oleh sebab itu, kamu harus mencari panjang balok melalui persamaan volume seperti berikut.
.png)
.png)
.png)
.png)
Jadi, jarak antara garis SW dan garis TX adalah 10 cm.
13. Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut.
Jika kubus tersebut memiliki rusuk 9 cm, tentukan jarak antara garis AH dan garis BG!
Pembahasan:
Perhatikan kembali kubus berikut.
Jarak pisah antara garis AH dan BG sama dengan panjang rusuk kubus ABCD.EFGH tersebut.
Dengan demikian, jarak antara kedua garis tersebut adalah 9 cm.
14. Perhatikan limas segitiga sama sisi berikut.
Jika panjang rusuk limas tersebut 12 cm, tentukan jarak antara garis CD terhadap bidang ABC!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan jarak antara garis CD dan bidang ABC.
Jarak antara garis CD terhadap bidang ABC sama dengan panjangnya titik D ke titik P.
Oleh karena alas limasnya berbentuk segitiga sama sisi, maka panjangnya DP bisa dirumuskan sebagai berikut.
.png)
.png)
.png)
Jadi, jarak antara garis CD terhadap bidang ABC adalah 6√3 cm.
15. Sebuah balok OPQR.STUV memiliki panjang, lebar, dan tinggi berturut-turut 25 cm, 15 cm, dan 20 cm.
Tentukan jarak antara garis PQ dan bidang ORSV!
Pembahasan:
Pertama, gambarkan dahulu bangun baloknya.
Berdasarkan gambar, jarak antara garis PQ dan bidang ORSV sama dengan panjang balok itu sendiri, yaitu 25 cm.
Jadi, jarak antara garis PQ dan bidang ORSV adalah 25 cm.
16. Suatu kubus KLMN.OPQR memuat suatu titik, yaitu titik S.
Titik S berada di antara rusuk LN, sehingga diperoleh perbandingan LS : LN = 1 : 2.
Jarak titik M ke ruas garis SQ adalah 2√5 cm. Tentukan jumlah panjang rusuk kubus tersebut!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan terlebih dahulu ilustrasi pada soal seperti berikut.
Berdasarkan gambar di atas, kamu dapat membuat permisalan seperti berikut.
- Titik T merupakan perpotongan garis tinggi pada segitiga SMQ terhadap alas SQ.
- Panjang rusuk kubusnya sebagai x.
Artinya, |M, SQ| = |MT| = panjang ruas garis MQ = 2√5 cm.
Kamu harus ingat bahwa perpotongan diagonal kubusnya sama panjang dan tepat berpotongan ditengah.
Sementara itu, titik S berada di antara rusuk LN dengan perbandingan LS : LN = 1: 2.
Artinya, titik S berada tepat di tengah-tengah LN dan tengah-tengah MK.
Pada segitiga SMQ, siku-siku berada di M.
KM = diagonal bidang kubus = x√2 .
.png)
.png)
SQ² = SM² + MQ²
.png)
.png)
.png)
.png)
Untuk mencari nilai x, gunakan persamaan rumus luas segitiga.
Jadi, panjang semua rusuk kubus KLMN.OPQR adalah 24√15 cm.
17. Suatu kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm.
Tepat di tengah rusuk DC terdapat titik V dan di tengah rusuk AD terdapat titik Y.
Tentukan jarak antara titik F dan garis VY!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan ilustrasi kubusnya seperti berikut.
Berdasarkan gambar di atas, diperoleh:
.png)
.png)
Untuk mencari jarak titik F ke garis VY atau titik W, gunakan teorema Pythagoras berikut.
.png)
.png)
.png)
Jadi, jarak titik F dan garis VY adalah √262 cm.
18. Sarah mengadakan pesta ulang tahun di sebuah gedung. Gedung tersebut didesain menyerupai limas segi empat.
Panjang sisi alasnya 8 m dan panjang rusuk tegaknya 4 m.
Tentukan jarak antara puncak gedung yang berbentuk limas ke lantai!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan bentuk gedung terlebih dahulu seperti berikut.
Diketahui panjang rusuk tegak = TA = TB = TC = TD = 4 m.
Diketahui panjang sisi alas = AB = BC = CD = DA = 8 m.
Dengan demikian, jarak antara puncak gedung ke lantai sama dengan tinggi gedung itu sendiri. Dalam hal ini sama dengan tinggi limasnya.
Selanjutnya, kamu harus menentukan panjang sisi AC menggunakan teorema Phytagoras seperti berikut.
.png)
.png)
.png)
Tinggi limas memotong sisi AC tepat di tengah, yaitu di titik E. Dengan demikian,
.png)
Untuk mencari tinggi limas, gunakan persamaan teorema Phytagoras berikut.
.png)
.png)
.png)
Jadi, jarak antara puncak gedung dan lantai adalah 4√3 m.
19. Galih memiliki suatu kardus berbentuk kubus. Luas permukaan kardus tersebut adalah 54 cm2.
Bagian dalam kardus akan dipasang tali untuk permainan. Tali diletakkan di salah satu titik sudut kardus bagian atas lalu dikaitkan di titik potong diagonal bidang alasnya.
Tentukan panjang tali yang dibutuhkan Galih!
Pembahasan:
Pertama, kamu harus menggambarkan ilustrasi kardusnya.
Berdasarkan gambar di atas, panjang tali yang dibutuhkan sama dengan panjang garis FF’.
Untuk mencari panjang rusuk kardus, gunakan persamaan luas permukaan berikut.
.png)
.png)
.png)
.png)
Artinya, AC = BD = 3√2 cm.
Untuk mencari panjangnya FF’, kamu bisa menggunakan teorema Phytagoras berikut.
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Jadi, panjang tali yang dibutuhkan Galih adalah 1,5√6 cm.
20. Pada limas beraturan T.ABCD, panjang rusuk tegaknya 25 cm dan panjang rusuk alasnya 7√2 cm. Jarak titik T ke bidang ABCD sama dengan …
Pembahasan :
.png)
.png)
21. Pada kubus ABCDEFGH, titik P pada AD dan titik Q pada EH sehingga AP=EQ = 12 cm. Jika panjang rusuk 12√3 cm maka jarak A ke BPQF sama dengan …
Pembahasan :
BP² = BA² + AP² = 432 + 144 = 576
B =24
.png)
t = 30⁰ ⇒ sin t = 1/2
.png)
.png)
.png)
22. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuknya 2a. Jika titik P berada pada perpanjangan garis GH sehingga HG=GP maka jarak titik G garis AP adalah.....
Pembahasan :
Jika dibuat gambar sebagai berikut :
.png)
.png)
.png)
.png)
Menentukan panjang AP
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Menentukan panjang GG dengan cara membandingkan luas
.png)
.png)
.png)
.png)
.png)
Dengan membandingkan luas
.png)
.png)
.png)
23. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 8 cm. Jarak titik H ke garis AC adalah...
Jika kita gambarkan kedudukan titik H dan garis AC pada kubus ABCD.EFGH seperti berikut ini:
Pembahasan:
.png)
.png)
.png)
Jika kita gunakan rumus jarak pada kubus pada keadaan tersebut dapat digunakan:
.png)
24. Kubus mempunyai panjang rusuk . Titik pada perpanjangan sehingga .
.png)
Jarak titik K ke bidang BDHF adalah...
Pembahasana:
Jika kita gambarkan kedudukan titik K dan bidang BFHD pada kubus ABCD EFGH
.png)
Dengan menggunakan konsep dari luas segitiga maka dapat kita tuliskan:
.png)
.png)
.png)
.png)
25. Diketahui limas beraturan T.ABCD dengan ABCD adalah persegi yang memiliki panjang AB=4 cm dan TA=6 cm. Jarak titik C ke garis AT=⋯
Pembahasan:
Jika kita gambarkan kedudukan titik C dan garis AT pada limas T.ABCD seperti berikut ini:
Jarak titik C ke garis AT dari gambar di atas merupakan tinggi segitiga ACT yang kita sebut CC′
Dengan panjang AC=4√2, AT=CT=6, kita dapat menghitung OT yaitu:
OT2=CT2−OC2
=62−(2√2)2
=36−8
t=√28
=2√7
Dengan konsep luas segitiga pada segitiga ATC dapat kita tuliskan:
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")
.png "nikekuko.com")