Contoh Soal dan Pembahasan Program Linear Uji Titik Pojok

 

1. Nilai minimum dari f(x,y)=3x+2y yang memenuhi daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 4x+5y≤20; 3x+5y≥15; x≥0; y≥0 adalah . . . .

A. 6 

B. 8
C. 10
D. 12
E. 15

Pembahsan :

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Pembahasan :

Perhatikan gambar dibawah :

 

 

Fungsi sasaran

f (x, y) = z = 3x + 2y

titik pojok                 nilai

A. (5, 0)        z = 3,5 + 2,0 = 15

B. (0, 4)        z = 3,0 + 2,4 = 8

C. (0, 3)        z = 3,0 + 2,3 = 6

Jadi nilai minimum z = 6 pada titik pojok C. (0, 3) jawaban A

 

2. Seorang penjahit memiliki persediaan 20 m kain polos dan 20 m kain bergaris untuk membuat 2 jenis pakaian. Pakaian model I memerlukan 1 m kain polos dan 3 m kain bergaris. Pakaian model II memerlukan 2 m kain polos dan 1 m kain bergaris. Pakaian model I dijual dengan harga Rp150.000,00 per potong, dan pakaian model II dijual dengan harga Rp100,000,00 per potong. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh penjahit tersebut adalah . . . .
A. Rp1.400.000,00
B. Rp1.600.000,00
C. Rp1.800.000,00
D. Rp1.900.000,00
E. Rp2.000.000,00

Pembahasan :

	kain polos	kain bergaris	harga	banyaknya
model I	1m	3m	Rp 150.000,-	x
model II	2m	1m	Rp 100.000,-	y
Tersedia	20m	20m

 Fungsi sasaran atau Fungsi objektif

f (x, y) = z = 150.000x + 100.000y

kain polos :
x +2y ≤ 20

Titik potong sumbu x = (20, 0)
titik potong sumbu y = (0, 10)
a = 1 > 0 dan tanda pertidak samaan ≤, maka arsiran ke arah kiri garis

kain bergaris :
3x + y ≤  20
Titik potong sumbu x = (20/3, 0)
titik potong sumbu y = (0, 20)
a = 3 > 0 dan tanda pertidak samaan ≤, maka arsiran ke arah kiri garis.
x ≥ 0

Arsiran ke arah kanan sumbu y
y ≥ 0
arsiran ke arah atas sumbu x

Funsi sasaran
f (x, y) = z = 150.000x + 110.000y
titik nilai pojok z

A. (0, 0)    z = 0
B. (20/3, 0) z = 1000.000
C. (4, 8)    z = 1.400.000
D. (0, 10)    z = 1000.000

penghasilan maxsimum
= Rp 1.400.000 → jawaban = A

3. Seorang pedagang buah mempunyai tempat yang hanya dapat menampung 40 kg buah-buahan. Jeruk dibeli dengan harga Rp12.000,00 per kg dan jambu dibeli dengan harga Rp10.000,00 per kg. Pedagang tersebut mempunyai modal Rp450.000,00 untuk membeli x kg jeruk dan y kg jambu. Model Matematika yang sesuai dengan masalah tersebut adalah . . . .
A. x + y ≤ 40; 6x + 5y ≤ 450; x ≥ 0; y ≥ 0
B. x + y ≤ 40; 6x + 5y ≤ 225; x ≥ 0; y ≥ 0
C. x + y ≥ 40; 6x + 5y ≤ 450; x ≥ 0; y ≥ 0
D. x + y ≥ 40; 6x + 5y ≤ 225; x ≥ 0; y ≥ 0
E. x + y ≥ 40; 6x + 5y ≥ 225; x ≥ 0; y ≥ 0

Pembahasan :

	jeruk (x)	Jambu (y)	Tersedia
Harga	Rp 12 000	Rp 10.000	Rp 450.000
Daya tampung	1	1	40kg

Berdasarkan daya tampung
x+y ≤ 40
Berdasarkan harga beli dan modal
12.000x + 10.000y ≤ 450.000 di sederhanakan menjadi
6x + 5y ≤ 225

Jeruk harus ada, maka x ≥ 0

Jambu harus ada, maka y ≥ 0

Dengan demikian model matematika yang cocok adalah
x + y ≤  40; 6x + 5y ≤  225; x ≥ 0; y ≥ 0
Jawaban : B

 

4. Pada sebuah supermarket, seorang karyawati menyediakan jasa pembungkus kado. untuk membungkus kado jenis A dibutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 2 meter pita. Sedangkan untuk membungkus kado jenis B dibutuhkan 2 lembar kertas pembungkus dan 1 meter pita. Tersedia kertas pembungkus 50 lembar dan pita 40 meter. Upah untuk membungkus setiap kado jenis A dan untuk membungkus setiap kado jenis B berturut-turut adalah Rp.5000,00 dan Rp4.000,00. Upah maksimum yang dapat diterima oleh karyawati tersebut adalah . . . .
A. Rp75.000,00
B. Rp100.000,00
C. Rp115.000,00
D. Rp125.000,00
E. Rp160.000,00

 

Pembahasan :

	A(x)	B(y)	Tersedia
Kertas	2 lbr	2 lbr	50 lbr
Pita	2 m	1 m	40 m
Upah	Rp 5000,-	Rp 4000,-

Fungsi objektif atau fungsi sasaran
z = 5000x + 4000y

Kertas:
2x +2y ≤ 50 disederhanakan
menjadi x + y ≤ 25
Titik potong sumbu x=(25, 0)
Titik potong sumbu y=(25, 0)
a=1>0 dan tanda pertidak samaan ≤, maka arsiran kearah kiri garis

Pita :
2x + y ≤ 40
Titik potong sumbu x= (20, 0)
Titik potong sumbu y=(0, 40)
a=2>0 dan tanda pertidak samaan ≤ maka arsiran kearah garis
x≥0
Arsiran kearah kanan sumbu y
y≥0
Arsiran kearah atas sumbu x 

 

 

 Fungsi sasaran
F (x, y) = z = 5000x + 4000y

Titik pojok
A. (0, 0)           z = 0
B. (20, 0)        z = 100.000
C. (15, 0)        z = 115.000
D. (0, 25)        z = 100.000

Upah maksimum : Rp 115.000
Jawaban : C

 

5. Luas daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan x+y≤3, 3x+2y≥6, y≥0 adalah . . . . satuan luas.

 

 

Pembahasan :

 

 

 

 

 

 

Jawab : D

6. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah adalah daerah himpunan penyelesaian semua (x, y) yang memenuhi sistem pertidaksamaan . . . .

A. x + y ≤ 4, 2x + 5y ≥ 10, y ≥ 0
B. x + y ≤ 4, 2x + 5y ≤ 10, y ≥ 0
C. x + y ≤ 4, 2x + 5y ≥ 10, x ≥ 0
D. x + y ≥ 4, 2x + 5y ≥ 10, x ≥ 0
A. x + y ≥ 4, 2x + 5y ≤ 10, x ≥ 0

Pembahasan :

7. Grafik berikut yang merupakan penyelesaian sistem pertidaksamaan linier

3x+2y⩾12

x+y≤5

y≥0x⩾0 adalah . . . .

8. Seorang pengusaha perumahan mempunyai lahan tanah seluas 10.000 m2 yang akan dibangun rumah tipe I dan tipe II. Rumah tipe I memerlukan tanah seluas 100 m2 dan rumah tipe II memerlukan tanah seluas 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 125 unit. Rumah tipe I dijual dengan Rp250.000.000,00 per unit dan rumah tipe II dijual dengan harga Rp200.000.000,00 per unit. Penghasilan maksimum yang dapat diperoleh pengusaha perumahan tersebut adalah . . . .
A. Rp25.000.000.000,00
B. Rp26.250.000.000,00
C. Rp26.600.000.000,00
D. Rp26.670.000.000,00
E. Rp31.250.000.000,00

Pembahasan :

	Type I (x)	Teype II (y)	Tersedia
Luas lahan	100m²	75m²	10.000m²
Jumlah rumah	1	1	125 unit

Misalkan jumlah rumah type I = x unit dan jumlah type II = y unit

Jumlah rumah :

 x + y ≤ 125

Luas lahan
100 + 75y ≤ 10.000 →disederhanakan menjadi :
4 + 3y ≤
x + y ≤ 125

Funsi objektif  f(, y) = 250.000.000 + 200.000.000y

Perhatikan gambar dibawah !!!

Subsitusikan titik-titik kritis (titik-titik) ke dalam persamaan fungsi objektif 

f( y) = 250.000.000 + 200.000.000y

	f( y) = 250.000.000 + 200.000.000y
A(0,0)	0
B(100, 0	Rp 25.000.000.000
C(25, 100)	RP 26.250.000.000
D(0,125)	Rp 25.000.000.000

Terlihat bahwa penghasilan maksimum adala : Rp 26.250.000.000
Jawabannya : B 

 

9. Daerah yang diarsir pada grafik berikut adalah himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari fungsi objektif f(,y)=6 + 10y adalah . . . .

 

A. 46
B. 40
C. 34
D. 30
E.  24

Pembahasan :

Koordinat titik kritis belum didapat adalah titik potong garis lurus. Oleh sebab itu terlebih dahulu persamaan kedua garis, kemudian lakukan eliminasi.

Persamaan garis melalui titik (0, 0) dan (b, 0) adalah a + by=ab

garis yang melalui titik (0, 2) dan (-1, 0)  2-y=-2...........*                                                                         garis yang melalui titik (0, 5) dan(5,0)......**                                                                                               5 + 5y=25→ disederhanakan menjadi +y=5.........**

Eliminasi persamaan * dan **

2-y=-2                                                                                                                                                         +y =5   

                                                                                                                                     

1+y=5                                                                                                                                                            y=4

Uji titik-titik kritis (titik-titik pojok) kedalam fungsi objektif

f( ,y)=6 + 10y

(0, 0) → 0 

(5, 0)→ 6,5 + 10,0 = 30

(0, 2)→ 6,0 + 10, 2 = 20

(1, 4)→6,0 + 10, 4 =  46

Nampak bahwa nilai maksimum adalah 46 jawaban: A

 

10. Seorang pedagang beras akan membuat beras campuran dengan cara mencampur beras jenis A dan beras jenis B. Beras campuran pertama terdiri dari 4 kg beras jenis A dan 8 kg beras jenis B sedangkan beras campuran kedua terdiri dari 8 kg beras jenis A dan 10 kg beras jenis B. Beras yang tersedia untuk beras jenis A dan B berturut-turut 80 ton dan 106 ton. Jika harga jual untuk beras campuran jenis pertama Rp60.000,00 dan jenis kedua Rp80.000,00, penjualan mksimum yang diperoleh adalah . . . .
A. Rp1.200.000.000,00
B. Rp920.000.000,00
C. Rp840.000.000,00
D. Rp800.000.000,00
E. Rp795.000.000,00

Pembahasan :

	Campuran I (x)	Campuran II (y)	Tersedia
Jenis A	4 kg	8 kg	80 kg
Jenis B	8 kg	10 kg	106 kg

Misalkan banyak beras campuran pertama = x dan banyak beras campuran kedua=y                                 Tinjau beras jenis A.

disederhanakan menjadi

 

Tinjau beras Jenis B

disederhanakan menjadi :

cari titik potong garis +2y=20 dengan garis 4+5y=53                                                                            

                                                                                                                                          

y = 9 ton = 9000 kg                                                                                                                   

= 2 ton = 2000 kg

 

A(13.250, 0)	795.000.000
B(2.000, 9000)	840.000.000
C(0, 10.000)	800.000.000
D(0,0)	0

Penjualan Maksimum = Rp 840.000.000,00 

Jawabannya :C

 

11. Daerah yang diarsir pada gambar di bawah ini adalah daerah penyelesaian dari pertidaksamaan . . . .

A. 6x+y≤12; 5x+4y≥20; x ≥ 0; y≥0
B. 6x+y≥12; 5x+4y≥20; x ≥ 0; y≥0
C. 6x+y≥12; 5x+4y≤20; x ≥ 0; y≥0
D. x+6y≤12; 4x+5y≥20; x ≥ 0; y≥0
E. x+6y≥12; 4x+5y≤20; x ≥ 0; y≥0

Penjelasan :

12. Daerah yang memenuhi sistem pertidaksamaan linear 3 + 4y ≤  96; + y ≤ 30 ≥ 0; y≥0 adalah . . . .

 

 

 

A. I

B. II

C. III

D. IV

E. V

Penjelasan:

3 + 4y ≤ 96 lakukan uji titik O (0, 0) !!

3.0 + 4.0 ≤ 96

0 ≤ 96  → benar, berarti arsiran ke arah O (0, 0) 

+ y ≤ 30

0 + 0 ≤ 30

0 ≤ 30 → benar berarti arsiran ke arah 0(0,0) 

≥ 0 dan y ≥ 0→ kuadran I

Dengan demikian, daerah di kuadran I yang dua dikali arsir adalah daerah di kuadran I yang dua dikali arsir adalah  daerah IV

Jawaban : D

13. Setiap hari seorang pengrajin tas memproduksi dua jenis tas. Modal untuk tas model I adalah Rp20.000,00 dengan keuntungan 40%. Modal untuk tas model II adalah Rp30.000,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap harinya adalah Rp1.000.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 40 tas, keuntungan terbesar yang dapat dicapai pengrajin tas tersebut adalah . . . .
A. 30%
B. 34%
C. 36%
D. 38%
E. 40%

Pembahasan :

Keuntungan tas model I = 40%. Rp 20.000,00 =Rp 8.000,00

Keuntungan tas model II = 30%. Rp 30.000,00 = Rp 6.000,00

 

	Model I (x)	Model II (y)	Tersedia
Modal	Rp 20.000,00	Rp 30.000,00	Rp 1.000.000,00
DayaProduksi	1	1	40
Keuntungan	Rp 8000,00	Rp 6000,00

Fungsi objektif :

F (x,y) = z = 8.000x + 9000y                                                                                                                     Daya tampung : 

x+ y     ≤ 40
Modal :
2000 + 3000   ≤  1 000.000, disederhanakan menjadi :
2x + 3y  = 100
x ≥ 0
y ≤ 0

 

 

Keuntungan maksimum = Rp 340.000

= 34%

Jawban : B

 

 14. Nilai maksimum dari 5x + 4y pada daerah himpunan penyelesaian berikut adalah . . . .

 

A. 8
B. 11
C. 12
D. 14
E. 15

Pembahasan :

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0)                                                                                    adalah a + by = ab                                                                                                                                    Persamaan garis yang melalui titik (0, 2) dan (4, 0)                                                                                adalah  2 + 4y = 8 disederhanakan menjadi + 2y = 4                                                                         Persamaan garis yang melalui titik (0, 3) dan (2, 0)                                                                                     adalah 3 + 2y =6 

Eliminasi kedua garis :

 

 

Titik-titik ekstrim dari derah himpunan penyelesaian : (0, 2), (0, 3) dan (1, 3/2)

 

 

 

 

 

 

 

Nilai maksimum 12 jawaban :C

15. Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan 2y−x≤2, 4x+3y≤12, x≥0, y≥0 pada gambar di bawah adalah . . .

A. I
B. II
C. III
D. I dan IV
E. II dan III

Pembahasan :

2y -  ≤ 2                                                                                                                                                      Titik potong sumbu    =(-2, 0)                                                                                                                Titik poyong sumbu y =  (0, 1)                                                                                                            Menentukan arah arsiran:                                                                                                                        Cara 1                                                                                                                                                           a = -1 ≤ dan tanda pertidaksamaan ≤ maka arah arsiran adalah ke arah kanan garis

Cara 2                                                                                                                                                           b = 2 ≥ 0 dan tanda pertidaksamaan ≤ maka arah arsiran adalah ke arah bawah garis

 4 x+ 3y ≤ 12
Titik potong sumbu x  = (3, 0)                                                                                                                     
 Titik potong sumbu y = (0, 4)                                                                                                    
Menentukan arah arsiran :                                                                                                                             
a = 4 ≥ 0 dan tanda pertidaksamaan ≤ maka arah arsiran adalah kearah kiri garis.                            
Dengan demikian, himpunan penyelesaian adalah daerah I

 

Jawab : A     

16. Dalam himpunan penyelesaian pertidaksamaan ≥1, y≥2, +y≤6, 2+3y≤15, maka nilai minimum dari 3+4y sama dengan . . . .

A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
E. 13    

Pembahasan :

       

 

Titik A adalah titik potong antara garis x = 1 dan y = 2 dengan demikian                                        
koordinat titik A(1, 2). Titik B adalah titik potong antara garis y =2 dengan garis x +y = 6.         
Masukan y = 2 kedalam persamaan x+y=6.                                                                                                 
x + 2= 6                                                                                                                                                        
x = 4                                                                                                                                                       
Dengan demikian koordinat titik B (4, 2)                                                                                              
Titik C(3, 3)                                                                                                                                             
Titik D adalah titik potong garis x = 1 dengan 2x + 3y = 15                                                                    
2.1 + 3y = 15                                                                                                                                              
3y = 13                                                                                                                                                         
 y= 13/3                                                                                                                                                        
Dengan demikian koordinat titik D (1, 13/3) 

 

                                                                                                  Nilai maksimum = 11 

Jawab = A                                                                                                                                                     

 

 

17. Agar fungsi f(x,y)=ax+10y dengan kendala 2 +y≥12, +y≥10, ≥0, y≥0 mencapai minimum hanya di (2,8), maka konstanta a memenuhi . . . .
A. −20 ≤ a ≤ −10
B. 10 ≤ a ≤ 20
C. 10 ≤ a ≤ 20
D. 10 < a ≤ 20
E. 10 < a < 20

Pembahasan :

• 2   + y ≥ 12

Titik potong sumbu x = (6, 0)

Titik potong sumbu y = (0, 12)

Arsiran ke arah kanan garis. 

• + y ≥ 10

Titik potong sumbu x = (10, 0)

Titik potong sumbu y = (0, 10)

Arsiran ke arah kanan garis 

 

Karena titik B (2, 8) adalah titik minimum, maka nilai minimum adalah
2a + 80, akibatnya:
2a +80 ≤ 10a
80  ≤ 10a -2a
80 ≤ 8a
10  ≤ a
a  ≤ 10.......*
 
2a +80  ≤ 120
2a  ≤ 40
a  ≤ 20.....**
dari * dan **

10 ≤ a  ≤ 20

Jawab : B

18. Nilai maksimum dari f( ,y)=2 +3y pada daerah yang dibatasi oleh: (3 +y−9)(2 +y−8)≤0, ≥0, y≥0 sama dengan . . . .
A. 6
B. 8
C. 20
D. 24
E. 27

Pembahasan :

(3 + y - 9) (2 + y - 8) ≤ 0 (negatif) artinya :

A. 3 + y - 9 ≥ 0 (+)  dan 2 + y - 8 ≤  0 (-)

1.3 +  y - 9 ≥ 0

3 + y ≥ 9

Titik potong sumbu x = (3, 0)

Titik potong sumbu y = (0, 9)

Arah arsiran ke arah kanan garis

2.2 + y - 8 ≤ 0

2 + y ≤ 8

Titik potong sumbu x = (4, 0)

Titik potong sumbu y = (0, 8)

Arah arsiran ke arah kiri garis

Daerah penyelesaian  A adalah 1 ⋂ 2

 

B. 3 +  y - 9 ≤ 0 (-) dan 2 + y - 8 ≤ 0 (+)

1.3 + y ≤ 9

Titik potong sumbu x = (3, 0)

Titik potong sumbu y = (0, 9)

Arah arsiran ke arah kiri garis 

Nilai maksimum = 27

Jawab :E

 

 

19. Untuk membuat 1 liter minuman jenis A diperlukan 2 kaleng soda dan 1 kaleng susu, sedangkan untuk membuat 1 liter minuman jenis B diperlukan 2 kaleng soda dan 3 kaleng susu. Tersedia 40 kaleng soda dan 30 kaleng susu. Jika 1 liter minuman jenis A dijual seharga Rp30.000,00 dan 1 liter minuman jenis B dijual seharga Rp50.000,00, pendapatan maksimum dari hasil penjualan kedua jenis minuman tersebut adalah . . . .
A. Rp500.000,00
B. Rp540.000,00
C. Rp600.000,00
D. Rp700.000,00
E. Rp720.000,00

 

Pembaahasan :

Jenis minuman	Soda	Susu	Harga Jual	Banyaknya
A	2	1	Rp 30.000,00	x
B	2	3	Rp 50.000,00	y
Tersedia	40	30

fungsi objektif                                                                                                                                             f(x, y) = z = 30.000x + 50.000y                                                                                                              Soda :                                                                                                                                                           2x + 2y ≤  40 disederhanakan menjadi x + y  ≤  20                                                                               Titik potong sumbu   x = (20, 0)                                                                                                             Titik potong sumbu y = (0, 20)                                                                                                              Arsiran ke arah kiri garis 

Susu:
x + 3y ≤ 30
Titik potong sumbu x = (30, 0)
Titik potong sumbu y = (0, 10)
Arsiran ke arah kiri garis
x ≥ 0
Arsiran ke arah kanan sumbu y
y ≥ 0
Arsiran ke arah atas sumbu x 

 

 

Pendapatan maksimum = Rp 700.000,00

Jawab : D

20. Seorang wiraswasta kue basah memiliki bahan baku 5 kg tepung, 3 kg gula, dan 1 kg margarin. Untuk membuat kue bika memerlukan 3 kg tepung, 1 kg gula, dan 0,5 kg margarin. Sedangkan untuk kue putri salju memerlukan 2 kg tepung, 2 kg gula, dan 0,5 kg margarin. Jika x menyatakan banyak kue bika dan y menyatakan banyak kue putri salju, model matematika dari masalah tersebut adalah . . . .
A. x + 2y ≤ 3; 3x + 2y ≤ 5; 0,5x + 0,5y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0
B. x + 2y ≥ 3; 3x + 2y ≥ 5; 0,5x + 0,5y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0
C. x + 2y ≤ 3; 3x + 2y ≥ 5; 0,5x + 0,5y ≥ 1; x ≥ 0; y ≥ 0
D. x + 2y ≥ 3; 3x + 2y ≤ 5; 0,5x + 0,5y ≥ 1; x ≥ 0; y ≥ 0
E. x + 2y ≤ 3; 3x + 2y ≤ 5; 0,5x + 0,5y ≥ 1; x ≥ 0; y ≥ 0

 Penjelasan :

 

Jenis Kue	Tepung	Gula	Margarin	Banyaknya
Bika	3	1	0,5	x
P. Salju	2	2	0,5	y
Tersedia	5	3	1

Tepung :
3x + 2y ≤ 5

Gula:
x + 2y ≤ 3
Margarin
0,5x + 0,5y  ≤ 1
Kue Bika harus ada :
x ≥ 0

Kue Putri salju harus ada ;
 y ≥ 0
Jadi model matematika yang tepat adalah :
x +2y ≤ 3; 3x + 2y ≤ 5; 0,5x +0,5y ≤ 1; x ≥ 0; y ≥ 0
Jawab : A

Share :