Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

Pengertian Nilai Mutlak

Sebelum masuk ke soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak, sebaiknya kita pelajari dulu pengertian dari nilai mutlak. Nilai mutlak dari sesuatu artinya adalah nilai positif dari sesuatu tersebut. Sesuatu yang dimaksud bisa berupa konstanta, variabel, dan fungsi yang tidak konstan.

Contoh:
a. |5|=5. Karena 5 adalah bilangan positif, maka nilai atau harga mutlak dari 5 adalah 5.
b. |−5|=5. Karena −5 adalah bilangan negatif, maka nilai atau harga mutlak dari −5 adalah −(−5).
c. |7|=7. Karena 7 adalah bilangan positif, maka nilai atau harga mutlak dari 7 adalah 7.
d. |−7|=7. Karena −7 adalah bilangan negatif, maka nilai atau harga mutlak dari −7 adalah −(−7). Bagaimana dengan nilai mutlak dari suatu variabel? Karena variabel merupakan suatu nilai yang tidak diketahui bernilai positif atau bernilai negatif, maka nilai mutlak dari suatu variabel ada dua kemungkinan.
Contoh:
Tentukanlah nilai dari |x| dari:
a. $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ =3
b. $x$ =−3
c. $x$ =−7
d. $x$ =7
Jawab:
Karena x adalah suatu variabel, maka nilai mutlak dari x bisa diuraikan ke dalam dua bentuk, yaitu:
Bentuk pertama:
Jika $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ bernilai positif atau sama dengan nol atau dengan kata lain jika $x$ lebih besar atau sama dengan nol ( $x$ ≥0), maka nilai mutlak dari x adalah $x$ .
| $x$ |= $x$ , untuk $x$ ≥ 0.
Bentuk kedua:
Jika $x$ bernilai negatif atau dengan kata lain jika $x$ lebih kecil dari nol ( $x$ <0), maka nilai mutlak dari $x$ adalah − $x$ .
| $x$ |=−x untuk $x$ <0.
Kita dapat menuliskannya kedalam bentuk berikut:
| $x$ |={ $x$ jika $x$ ≥0 − $x$ jika x<0.

Berarti:
a. |3|=3
b. |−3|=−(−3)=3
c. |−7|=−(−7)=7
d. |7|=7

Sifat-sifat Persamaan Nilai Mutlak
1. |p|≥0
2. |−p|=|p|
3. |p+q|=|q+p|
4. |p−q|=|q−p|
5. |ab|=|a||b|

Sifat-sifat Pertidaksamaan Nilai Mutlak
Ada beberapa sifat-sifat pertidaksamaan niali mutlak yang wajib adik-adik ingat dan kuasai. Sifat-sifat Pertidaksamaan nilai mutlak inilah yang menjadi kunci penyelesaian. Jadi, simak dan perhatikan!

Untuk a > 0
Jika |f( $x$ )|<a→−a<f( $x$ )<a

Jika |f( $x$ )|≤a→−a≤f( $x$ )≤a
Jika |f( $x$ )|>a→f( $x$ )<−a atau f( $x$ )>a
Jika |f( $x$ )|≥a→f( $x$ )≤−a atau f( $x$ )≥a

Jika a<|f( $x$ )|<b→a<f( $x$ )<b atau −b<f( $x$ )<−a

Jika |f( $x$ )||g( $x$ )|<c maka |f( $x$ )|<|c.g( $x$ )|
⇔ [f( $x$ )+c.g( $x$ )][f( $x$ )−c.g( $x$ )]<0

Hal ini berlaku juga jika tandanya adalah ≤, >, dan ≥.

Sebagai pendukung, untuk mempermudah perhitungan pelajari juga operasi aljabar berikut:
Jika |f( $x$ )| < |g( $x$ )| → [f( $x$ ) + g( $x$ )][f( $x$ ) - g( $x$ )] < 0
Jika |f( $x$ )| ≤ |g( $x$ )| → [f( $x$ ) + g( $x$ )][f( $x$ ) - g( $x$ )] ≤ 0
Jika |f( $x$ )| > |g( $x$ )| → [f( $x$ ) + g( $x$ )][f( $x$ ) - g( $x$ )] > 0
Jika |f( $x$ )| ≥ |g( $x$ )| → [f( $x$ ) + g( $x$ )][f( $x$ ) - g( $x$ )] ≥ 0

Setelah adik-adik mengerti tentang sifat-sifat persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak dan aljabar pendukung, sekarang adik-adik boleh mempelajari soal dan pembahasan persamaan dan pertidaksamaan nilai mutlak di bawah.

Soal dan Pembahasan Persamaan Nilai Mutlak

Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak

adalah.............

A. $x$ > 1
B. $x$ < 7
C. −1< $x$ < 7
D. $x$ <−1 atau $x$ > 7
E. 0< $x$ < 7

Pembahasan :

A. { $x$ | 0 ≤ $x$ ≤1, $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ ∈R}
B. { $x$ | $x$ ≤ 1, $x$ ∈R}
C. { $x$ | $x$ ≤ 2, $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ ∈R}
D. { $x$ | $x$ ≤ 0, $x$ ∈R}
E. { $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ | $x$ ≥ 0, $x$ ∈R}

Pembahasan :

Pertama:

* Untuk $x$ < 0......(*)

-2 ≤ 0.......(**)

dari (*) dan (**) Tidak ada solusi

Untuk $x$ ≥ 0.....(*)
-2 ≤ $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ + $x$

-2 ≤ 2 $x$

-1 ≤ $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$

$x$ ≥ -1 .......(**)

(*) $Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Nilai Mutlak$ (**) → $x$ ≥ 0....(1)

Kedua:
- Untuk $x$ < 0......(*)
- $x$ + x ≤ 2
dari (*) dan (**) tidak ada solusi

-Untuk $x$ ≥ 0.......(*)
$x$ + $x$ ≤ 2
2 $x$ ≤ 2
$x$ ≤ 1.......(**)

(*) n (**)→ 0 ≤ $x$ ≤ 1→(2)
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan adalah :
(1) n (2)→0 ≤ $x$ 1, $x$ ⋲ R

Jawab : A