25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika

Induksi matematika (kadang juga disebut sebagai induksi matematis, atau dalam bahasa Inggris, mathematical induction) pada awalnya adalah salah satu metode pembuktian pernyataan matematika yang melibatkan bilangan asli dan proses pembuktiannya menggunakan dua langkah utama: langkah basis (basis step) dan langkah induktif (inductive step).

Teorema yang berlaku untuk setiap bilangan asli (atau hanya tidak berlaku untuk bilangan asli tertentu) memiliki kemungkinan untuk dapat dibuktikan kebenarannya dengan induksi matematika. Tidak terbatas pada itu, induksi matematika bahkan dapat diperluas untuk pembuktian yang melibatkan bilangan bulat. Namun, perlu diperhatikan bahwa penggunaan induksi matematika sebagai salah satu metode pembuktian tidak secara khusus untuk memproduksi pernyataan baru lainnya, melainkan untuk memverifikasi kebenaran dari suatu dugaan (konjektur) kita. Langkah-langkah dalam membuktikannya secara induksi adalah sebagai berikut.

Induksi matematika bekerja layaknya efek domino yang memiliki prinsip bahwa ketika satu domino jatuh, domino yang lain juga akan jatuh. Prinsip yang sama dengan efek domino juga terjadi pada mekanisme Rube Goldberg Machine.

Pembuktian dengan induksi matematika digunakan untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan matematis berupa barisan, ketidaksamaan, dan keterbagian dari bilangan bulat positif. Pembuktian dengan metode induksi matematika merupakan pembuktian dari hal khusus ke hal umum. Berbeda dengan pembuktian dengan metode deduksi, dalam metode deduksi pembuktiannya bersifat dari hal umum ke hal khusus.
Untuk membuktikan kebenaran dari induksi matematika, ada tiga langkah yang diperlukan, yaitu:
1. Membuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = 1 (langkah dasar). Hal ini bisa dilakukan dengan membuktikan bahwa U1=S1, dimana U1 adalah suku pertama, dan S1 adalah jumlah satu suku pertama.
2. Anggap bahwa untuk n = k, rumus atau teorema adalah benar. (langkah induksi)
3. Karena untuk n = k, rumus atau teorema sudah benar maka perlu dibuktikan bahwa untuk n = k + 1, rumus atau teorema juga benar (kesimpulan).

Contoh Soal:

1. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa:

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

Pembahsan:

Langkah 1:

$U_{n}=n$

$U_{1}=1$

$S_{n}=\frac{1}{2}n(n+1)$

$S_{1}=\frac{1}{2}.1.(1+1)=1$

$1=1$

Untuk n = 1, rumus atau teorema benar

Langkah 2:

Anggap bahwa rumus teorema benar untuk n = n + 1

$1+2+3+.....+k+(k+1)=\frac{1}{2}(k+1)(k+1+1)$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$\frac{1}{2}k(k+1)$

kita buktikan bahwa ruas kiri saama dengan ruas kanan

dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri

$\frac{1}{2}k(k+1)+(k+1)=\frac{1}{2}k(k+1)+\frac{2}{2}(k+1)$

$=\frac{k(k+1)+2(k+1)}{2}$

$=\frac{1}{2}(K^{2}+k+2k+2)$

$=\frac{1}{2}(K^{2}+k+3k+2)$

$=\frac{1}{2}(k^{2}+3k+2)$

$=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)\; (benar)$

$1+2+3+.....+n=\frac{1}{2}n(n+1)\; (terbukti)$

2. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

$(a^{n}-b^{n})$ habis dibagi $(a-b)$

Pembahasan :

Langkah 1

Untuk n = 1

$(a^{1}-b^{1})=(a-b)\; habis dibagi (a-b)$

Rumus atau teorema benar untuk n=1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k

$Sehingga\; (a^{k}-b^{k})\; habis\; dibagi\; (a-b)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar

untuk n = k + 1

$a^{k+1}-b^{k+1}=a.a^{k}-b.b^{k}$

$=a(a^{k}-b^{k})+(a-b)b^{k}$

karena pada langkah 2 kita sudah anggap bahwa

$(a^{k}-b^{k})$ habis dibagi $(a-b)$ pasti habis dibagi oleh (a-b), maka $a(a^{k}-b^{k})$ pasti habis dibagi oleh

$(a-b)$ . Karena $(a-b)$ habis dibagi $(a-b)$ , maka $(a-b)b^{k}$ pasti dibagi oleh $(a-b)$

Berarti, $a(a^{k}-b^{k})+(a-b)b^{k}$ habis dibagi $(a-b)$ (benar)

Kesimpulan:

$(a^{n}-b^{n})$ habis dibagi $(a-b)$ (terbukti)

3. Bukti dengan induksi bahwa

$(5^{n+1}-4n-5)$ habis dibagi 16

Pembahasan:

Langkah 1

Untuk n = 1

$(5^{1+1}-4.1-5)=25-4-5=16$

16 habis dibagi 16

Rumus atau teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga

$(5^{k+1}-4k-5)\; habis \; dibagi \; 16$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus benar untuk n=k+1

$(5^{k+1+1}-4^{k+1}-5)=(5^{k+2}-4k-9)$

$=5.5^{k+1}-4k-5-4$

$=5(5^{k+1}-4k-5)-4+16k+20$

$=5(5^{k+1}-4k-5)-4+16k+16$

Karena pada langkah 2 kita sudah asumsikan bahwa

$(5^{k+1}-4k-5)\; habis\; dibagi\; 16$

$maka\; 5(5^{k+1}-4k-5)\;pasti\; habis\; dibagi\; 16$

16k pasti habis dibagi 16, dan 16 habis dibagi 16

$Berarti\; 5(5^{k+1}-4k-5)+16k+16\;pasti\; habis\; dibagi\; 16 \; (benar)$

kesimpulan:

$(5^{n+1}-4n-5);pasti\; habis\; dibagi\; 16 \; (terbukti)$

ingatt!!!

Jika a habis dibagi c, a, dan c bilangan bulat, maka a dikali berapapun pasti habis c, asalkan dikalikan dengan bilangan bulat.

4. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}+i}=\frac{n}{n+1}$

Penjelasan:

Langkah 1

untuk n= ruas kiri

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}+i}=\sum_{i=1}^{1}\frac{1}{i^{2}+i}=\frac{1}{1^{2}+1}=\frac{1}{2}$

untuk n = 1 ruas kanan

$\frac{n}{n+1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Ruas kiri = Ruas kanan

rumus atau teorma benar untuk n=1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorem benar untuk n=k sehingga

$\sum_{i=1}^{k+1}\frac{1}{i^{2}+i}=\frac{k+1}{k+2}$

$\underbrace{\sum_{i=1}^{k}\frac{1}{i^{2}+i}}+\sum_{i=k+1}^{k+1}\frac{1}{i^{2}+i}=\frac{k+1}{k+2}$

Dapat dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan mengolah dan memodifikasikan ruas kiri.

$\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)^{2}+k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{k^{2}+3k+2}$

$=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k^{2}+2k+1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{(k+1)(k+1)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k+1}{k+2}\; (benar)$

kesimpulan

$\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{i^{2}+i}=\frac{n}{n+1}\; (terbukti)$

5. Dengan induksi matematika, buktikan bahwa:

$\sum_{i=1}^{n}2i=n^{2}+n$

Pembahasan:

Langkah 1

untuk n=1 ruas kiri :

$\sum_{i=1}^{n}2i=\sum_{i=1}^{1}2i=2.1=2$

untuk n=1, ruas kanan

$n^{2}+n=1^{2}+1=2$

$2=2$

Ruas kiri = ruas kanan

Rumus atau teorema benar untuk n=1

Langkah 2

Anggap rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga:

$\sum_{i=1}^{k}2i=k^{2}+k$

Langkah 3:

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk

$n=k+1$

$\sum_{i=1}^{k+1}2i=(k+1)^{2}+(k+1)$

$\underbrace{\sum_{i=1}^{k}2i}+\sum_{i=k+1}^{k+1}2i=(k+1)^{2}(k+1)$

Dapat dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan mengolah dan modifikasi ruas kiri

$k^{2}+k+2(k+1)=k^{2}+2k+1+k+1$

$=(k+1)^{2}+(k+1)\; (benar)$

Kesimpulan:

$\sum_{i=1}^{n}2i=n^{2}+n\; (terbukti)$

$6.\; Buktikan\; bahwa\; \sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}$

berlaku untuk semua bilangan asli n

Pembahasan :

Langkah 1

Untuk n = 1 ruas kiri :

$\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\sum_{i=1}^{1}i^{3}=\sum_{i=1}^{1}1^{3}=1^{3}=1$

untuk n = 1, ruas kanan:

$\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}=\left [ \frac{1(1+1)}{2} \right ]^{2}=1$

n = 1

Ruas kiri = Ruas kanan

Rumus atau teoterma benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teoterma benar untuk n = k sehhingga:

$\sum_{i=1}^{k}i^{3}=\left [ \frac{k(k+1)}{2} \right ]^{2}$

Langkah 3

Dapat dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1

$\sum_{i=1}^{k+1}i^{3}=\left [ \frac{(k+)(k+2)}{2} \right ]^{2}$

Kita akan membuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan mengolah dan memodifikasi ruas kiri.

$\sum_{i=1}^{k+1}i^{3}=\underbrace{\sum_{i=1}^{k}i^{3}}+\sum_{i=k+1}^{k+1}i^{3}$

$\left [ \frac{k(k+1)}{2} \right ]^{2}$

$=\left [ \frac{k(k+1)}{2} \right ]^{2}+(k+1)^{3}$

$=\frac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}+(k+1)^{3}$

$=(k+1)^{2}\left [ \frac{1}{4}k^{2}+(k+1) \right ]$

$=(k+1)^{2}\left [ \frac{k^{2}+4k+4}{4} \right ]$

$=(k+1)^{2}\left [ \frac{(k+2)^{2}}{2^{2}} \right ]$

$=\left [ \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right ]^{2}\; (benar)$

Kesimpulan

$\sum_{i=1}^{n}i^{3}=\left [ \frac{n(n+1)}{2} \right ]^{2}$

7. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

$2^{3}+4^{3}+6^{3}+........+(2n)^{3}=2n^{2}(n+1)^{2}$

Penjelasan:

Langkah 1

$U_{n}=(2n)^{3}$

$U_{1}=(2.1)^{3}=8$

$S_{n}=2n^{2}(n+1)^{2}$

$S_{1}=2.1^{2}(1+1)^{2}=8$

$8=8$

Rumus atau teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar n=k, sehingga:

$2^{3}+4^{3}+6^{3}+........+(2k)^{3}=2k^{2}(k+1)^{2}$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1

$2^{3}+4^{3}+6^{3}+........+(2k)^{3}+(2(k+1))^{3}=2(k+1)^{2}(k+2)^{2}$

$\underbrace{2^{3}+4^{3}+6^{3}+....+((2k)^{2}}+2(k+1))^{2}=2(k+1)^{2}(k+2)^{2}$

$2k^{2}(k+1)^{2}$

kita akan membuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan

$2k^{2}(k+1)^{2}+(2(k+1))^{3}=2k^{2}(k+1)^{2}+8(k+1)^{3}$

$=2(k+1)^{2}\left [ k^{2}+4(k+1) \right ]$

$=2(k+1)^{2}\left [ k^{2}+4k+4 \right ]$

$=2(k+1)^{2}(k+2)^{2}\; (benar)$

kesimpulan

$2^{3}+4^{3}+6^{3}+......+(2n)^{3}=2n^{2}(n+1)^{2}\; (terbukti)$

8. Dengan induksi matematika buktikan bahwa:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+......+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$=\frac{n}{2n+1}$

Pembahasan:

Langkah 1

$U_{n}=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$U_{1}=\frac{1}{(2.1-1)(2.1+1)}=\frac{1}{3}$

$S_{n}=\frac{n}{2n+1}$

$S_{1}=\frac{1}{2.1+1}=\frac{1}{3}$

$\frac{1}{3}=\frac{1}{3}$

Rumus atau teorema benar untuk n=1

Langkah 2

Anggap rumus atau teoreama benar untuk n=k sehingga

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

$=\frac{k}{2k+1}$

Langkah 3:

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k+1

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+......+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$

$+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}$

$\underbrace{\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+......+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}}$

$\frac{k}{2k+1}$

$+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{k+1}{2k+3}$

dapat dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan

$\frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k(2k+3)+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{2k^{2}+3k+1}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{(k+1)(2k+1)}{(2k+1)(2k+3)}$

$=\frac{k+1}{2k+3}\; (benar)$

Kesimpulan:

$\frac{1}{1.3}+\frac{1}{3.5}+\frac{1}{5.7}+........+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

$=\frac{n}{2n+1}\; (terbukti)$

9. Dengan induksi matematika buktikan bahwa

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.......+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}$

Pembahasan

Langkah 1

$U_{n}=\frac{1}{n(n+1)}$

$U_{1}=\frac{1}{1(1+1)}=\frac{1}{2}$

$S_{n}=\frac{n}{n+1}$

$S_{1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Rumus atau teorema untuk n=1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga:

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.......+\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k+1}{k+2}$

$\underbrace{\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+......+k\frac{1}{(k+1)}}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$\frac{k}{k+1}$

$=\frac{k+1}{k+2}$

Dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan

$\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{(k^{2}+2k+1)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{(k+1)(k+1)}{(k+1)(k+2)}$

$=\frac{k+1}{k+2}\; (benar)$

Kesimpulan:

$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+.......+\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}\; (terbukti)$

10. Buktikan bahwa

$2^{2}+4^{2}+6^{2}+........+(2n)^{2}=\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)$

Pembahasan:

Langkah 1

$U_{n}=(2n)^{2}$

$U_{1}=(2.1)^{2}=4$

$S_{n}=\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)$

$S_{1}=\frac{2}{3}.1.(1+1)(2.1+1)=4$

$4=4$

Rumus atau teorema benar untuk n=1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga:

$2^{2}+4^{2}+6^{2}+........+(2k)^{2}=\frac{2}{3}k(k+1)(2k+1)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k+1

$2^{2}+4^{2}+6^{2}+........+((2k)^{2}+(2(k+1))^{2}$

$\underbrace{2^{2}+4^{2}+6^{2}+........+(2k)^{2}}+4(k+1)^{2}$

$\frac{2}{3}k(k+1)(2k+1)$

$=\frac{2}{3}(k+1)(k+2)(2k+3)$

kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan

$\frac{2}{3}k(k+1)(2k+1)+4(k+1)^{2}$

$=(k+1)\left [ \frac{2}{3}k(2k+1)+4(k+1) \right ]$

$=(k+1)\left [ \frac{2}{3}(2k^{2}+k)+4(k+1) \right ]$

$=(k+1)\left ( \frac{4k^{2}+2k+12k+12}{3} \right )$

$=(k+1)\left ( \frac{4k^{2}+14k+12}{3} \right )$

$=\frac{2}{3}(k+1)(2k^{2}+7k+6)$

$=\frac{2}{3}(k+1)(k+2)(2k+3)\; (benar)$

Kesimpulan:

$2^{2}+4^{2}+6^{2}+........+(2n)^{2}=\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)\; (terbukti)$

11. Dengan induksi matematika buktikan bahwa

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+.......+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$

Pembahasan:

Langkah 1

$U_{n}=n^{3}$

$U_{1}=1^{3}=1$

$S_{n}=\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$

$S_{n}=\frac{1}{4}1^{2}(1+1)^{2}=1$

$1=1$

Rumus atau teorema benar untuk n=1

langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga:

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+........+k^{3}=\frac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k+1 sehingga

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+........+k^{3}+(k+1)^{3}$

$=\frac{1}{4}(k+1)^{2}(k+2)^{2}$

$\underbrace{1^{3}+2^{3}+3^{3}+.......+k^{3}}+(k+1)^{3}$

$\frac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}$

$=\frac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}(k+2)^{2}$

Dapat dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan

$\frac{1}{4}k^{2}(k+1)^{2}(k+2)^{3}$

$=(k+1)^{2}\; (\frac{k^{2}}{4}+(k+1))$

$=(k+1)^{2}\frac{(k^{2}+4k+4)}{4}$

$=(k+1)^{2}\frac{(k+2)^{2}}{4}$

$=\frac{1}{4}(k+1)^{2}\; (k+2)^{2}\; (benar)$

Kesimpulan

$1^{3}+2^{3}+3^{3}+.........+n^{3}=\frac{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}$

12. Dengan menggunakan induksi matematika buktikan bahwa

$1.2+2.3+3.4+.....+n(n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

Pembahasan:

$U_{n}=n(n+1)$

$U_{1}=1(1+1)=2$

$S_{n}=\frac{1}{3}n(n+1)(n+2)$

$S_{1}=\frac{1}{3}.1.(1+1)(1+2)=2$

$2=2$

Rumus atau teorema benar untuk n=1

langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga

$1.2+2.3+3.4+.....+k(k+1)=\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k+1

$1.2+2.3+3.4+.....+k(k+1)+(k+1)(k+2)$

$=\frac{1}{3}(k+1)(k+1+1)(k+1+2)$

$\underbrace{1.2+2.3+3.4+.......+k(k+1)}+(k+1)(k+2)$

$\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)$

$=\frac{1}{2}(k+1)(k+2)(k+3)$

dapat dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri

$\frac{1}{3}k(k+1)(k+2)+(k+1)(k+2)$

$=(k+1)(k+2)(\frac{1}{3}k+1)$

$=(k+1)(k+2)\frac{(k+3)}{3}$

$=\frac{1}{3}+(k+1)(k+2)(k+2)\; (benar)$

Kesimpulan:

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

13. Gunakan indukasi matematika untuk membuktikan bahwa

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+........+n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

Pembahasan:

Langkah 1

$U_{n}=n^{2}$

$U_{1}=1^{2}=1$

$S_{n}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$

$S_{1}=\frac{1}{6}.1(1+1)(2.1+1)=1$

$1=1$

Rumus atau teorema untuk n=1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k hingga:

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+.......+k^{2}=\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$

Langkah 3:

Anggap dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k+1

$1^{2}+2^{2}+3^{2}+.........+k^{2}+(k+1)^{2}$

$=\frac{1}{6}(k+1)(k+1+1)(2k+2+1)$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)$

$=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)$

Kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri

$\frac{1}{6}k(k+1)(2k+1)+(k+1)^{2}$

$=\frac{1}{6}\left [ k(k+1) (2k+1)+6(k+1)^{2}\right ]$

$=\frac{1}{6}(k+1)\left [ k(2k+1)+6(k+1) \right ]$

$=\frac{1}{6}(k+1)\left [ 2k^{2} +k+6k+6\right ]$

$=\frac{1}{6}(k+1)\left [ 2k^{2}+7k+6 \right ]$

$=\frac{1}{6}(k+1)(k+2)(2k+3)\; (benar)$

Kesimpulan:

$1^{2}+2^{2}+3^{3}+........+n^{2}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)\; (terbukti)$

14. Buktikan bahwa

$2+4+6+.......+2n=n(n+1)$

Pembahasan:

Langkah 1

$U_{n}=2n$

$U_{1}=2.1=n$

$S_{n}=n(n+1)$

$S_{1}=1(1+1)=2$

$2=2$

Rumus atau teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k sehingga

$2+4+6+......+2k=k(k+1)$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k +1

$2+4+6+......+2k+2(k+1)=(k+1)(k+1+1)$

$\underbrace{2+4+6+......+2k}+2(k+1)=(k+1)(k+2)$

$k(k+1)$

kita buktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan melakukan modifikasi terhadap ruas kiri

$k(k+1)+2(k+1)=k^{2}+k+2k+2$

$=k^{2}+3k+2$

$=(k+1)(k+2)\; (benar)$

Kesimpulan:

$2+4+6+........+2n=n(n+1)\; (terbukti)$

15. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

$1+3+5+........+(2n-1)=n^{2}$

Pembahasan

Langkah 1

$U_{n}=2n-1$

$U_{1}=2.1-1=1$

$S_{n}=n^{2}$

$S_{1}=1^{2}=1$

$1=1$

Rumus atau teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k sehingga

$1+3+5+.....+(2k-1)=k^{2}$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k + 1sehingga

$\underbrace{1+3+5+.....+(2k-1)}+\left [ 2(k+1)-1 \right ]=(k+1)^{2}$

$k^{2}$

dapat dibuktikan bahwa ruas kiri sama dengan ruas kanan dengan melakukan modifikasiterhadap ruas kiri

$k^{2}+\left [ 2(k+1)-1 \right ]=k^{2}+2k+2-1$

$=k^{2}+2k+1$

$=(k+1)^{2}\; (benar)$

Kesimpulan:

$=1+3+5+.......+(2n-1)=n^{2}\; (terbukti)$

$16.\; \sum_{k=3}^{6}k(k^{2}+5k)=......$

Pembahasan:

$\sum_{k=3}^{6}k(k^{2}+5k)=\sum_{k=1}^{6}k(k^{2}+5k)-\sum_{k=1}^{3}k(k^{2}+5k)$

$=\sum_{k=1}^{6}k^{3}+5.\sum_{k=1}^{6}-\sum_{k=1}^{3}k^{3}-5.\sum_{k=1}^{3}k^{2}$

$=\left [ \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+5.\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \right ]_{k=6}$

$-\left [ \frac{k^{2}(k+1)^{2}}{4}+5.\frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \right ]_{k=3}$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$=\left [ \frac{3^{2}(3+1)^{2}}{4}+5.\frac{3(3+1)(2.3+1)}{6} \right ]$

$=441+455-(36+70)$

= 790

$17.\; \sum_{k=1}^{4}(k^{2}+3k)=........$

Pembahasan:

$\sum_{k=1}^{4}(k^{2}+3k)=\sum_{k=1}^{4}k^{2}+3\sum_{k=1}^{4}k$

$=\frac{k(k+1)(2k+1)}{6}+3.\frac{k(k+1)}{2}\to k=4$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

= 60

$18.\; \sum_{i=1}^{8}i^{3}=.......$

Pembahasan:

$\sum_{i=1}^{8}i^{3}=\left ( \frac{n(n+1)}{2} \right )^{2}\to n=8$

$=\left ( \frac{8(8+1)}{2} \right )^{2}$

$=(4,9)^{2}$

= 1296

$19.\; \sum_{i=1}^{6}(n^{2}+10)=........$

Pembahasan:

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+10n\to n=6$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$=\frac{6.7.13}{6}+60$

= 91 + 60

= 151

20. Buktikan dengan prinsip induksi matematika untuk semua bilangan asli n, berlaku $3^{n}\geq 2n+1$

Pembahasan:

Langkah 1

$3^{1}\geq 2.1+1$

$3\geq 3$

teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa teorema benar untuk n = k sehingga

$3^{k}> 2k+1$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1

$3^{k+1}\geq 2(k+1)+1$

$3^{k+1}\geq 2k+3$

$3^{k+1}=3.3^{k}$

$3^{k+1}\geq 3.(2k+1)\; karena\; 3^{k}\geq 2k+1$

$3^{k+1}\geq 6k+3$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$3^{k+1}\geq (k+1)+1\; (benar)$

Kesimpulan:

$3^{n}\geq 2n+1\; (terbukti)$

21. Dengan menggunakan prinsip indukasi matematika buktikan bahwa

$(n+1)^{2}> n^{2}+4\; untuk\; n\geq 2$

Pembahasan:

Langkah 1

untuk n = 2

$(n+1)^{2}> n^{2}+4$

$(2+1)^{2}> 2^{2}+4$

$9> 8$

Teorema benar untuk n = 2

Langkah 2

Anggap bahwa teorema benar untuk n = k sehingga

$(k+1)^{2}> k^{2}=4$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1

$(k+2)^{2}> (k+1)^{2}+4$

$(k+2)^{2}> k^{2}+4+2k+1$

$(k+2)^{2}= k^{2}+4k+4$

$(k+2)^{2}= k^{2}+2k+1+2k+3$

$(k+2)^{2}= (k+1)^{2}+2k+3$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

Kesimpulan:

$(n+1)^{2}> n^{2}+4\; (terbukti)$

22. Untuk setiap bilangan asli n, buktikan bahwa: $3^{n}> 2^{n}$

Pembahasan:

Langkah 1

untuk n = 1

$3^{1}> 2^{1}$

$3> 2$

Teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa teorema benar untuk n = k sehingga

$3^{k}> 2^{k}$

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa teorema untuk n = k + 1

$3^{k+1}> 2^{k+1}$

$3^{k+1}= 3.3^{k}$

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$3^{k+1}>2.2^{k}\; karena\; 3> 2$

$3^{k+1}>2^{k+1}\; (benar)$

Kesimpulan:

$3^{n}>2^{n}\; (terbukti)$

23. Buktikan dengan induksi matematika bahwa: $n^{3}+2n$ habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Pembahasan

Langkah 1

untuk n = 1

$n^{3}+2n=1^{3}+2.1=3\to habis\; dibagi\; 3$

Rumus atau teorema benar untuk n = 1

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorama benar untuk n = 1= k, sehingga $k^{2}+2k$ habis dibagi 3

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k +1

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$=(k^{3}+2k)+(3k^{2}+3k+3)$

$=(k^{3}+2k)+3(k^{2}+k+1)$

karena dari langkah 2 kita sudah dianggap bahwa $k^{3}+2k$ habis dibagi 3 dan $3(k^{2}+k+1)$ pasti habis dibagi 3, maka $(k^{3}+2k)+3(k^{2}+k+1)$ pasti habis dibagi 3 (benar)

Kesimpulan:

$n^{3}+2n$ habis dibagi 3 (terbukti)

24. Dengan indukasi matematika buktikan bahwa salah satu faktor dari $2^{2n+1}+3^{2n+1}$ adalah 5 untuk setiap n bilangan asli

Pembahasan:

Langkah 1

untuk n = 1

$2^{2n+1}+3^{2n+1}=2^{2.1+1}+3^{2.1+1}$

= 8 +27 = 35 = 5.7 →5 adalah salah satu faktor Rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga :

$2^{2k+1}+3^{2k+1}$ habis dibagi 5.

ingat!!!

Bila a merupakan faktor dari b, maka b pasti habis dibagi oleh a.

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n=k+1

$25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$

$=4(2^{2k+1}+3^{2k+1})+5.3^{2k+1}$

karena dari langkah 2 kita sudah anggap bahwa $2^{2k+1}+3^{2k+1$ habis dibagi . Sedangakan $25 Contoh Soal dan Pembahasan Induksi Matematika$ pasti habis dibagi 5 (benar)