35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma adalah dua hal yang berbeda walaupun sama-sama berbicara tentang logaritma. Untuk memahami perbedaan antara persamaan dan pertidaksamaan logaritma, langsung saja simak ulasan-ulasan berikut.

Pengertian Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah suatu bentuk persamaan yang mengandung unsur/materi logaritma. Dibutuhkan kreatifitas yang tinggi untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Tentu, sebelum berhadapan dengan persamaan logaritma, adik-adik sudah harus fasih dasar-dasar logaritma. Untuk memahami persamaan logaritma, langsung saja simak dan pelajari soal-soal berikut.

Contoh Soal

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$a.\; \frac{1}{5}$

$b.\; \frac{2}{5}$

$c.\; \frac{3}{5}$

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

e. 1

Pembahasan

$^{2}Log\sqrt{x^{2}-16}=2$

syarat numerus

$x^{2}-16> 0$

( $x$ ² + 4) ( $x$ - 4) > 0

$x$ < -4 atau $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$ > 4 .............(1)

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$\sqrt{x^{2}}-16=4$

$x$ ²=32

$x=-\sqrt{32}$ tidak memenuhi syarat karena ditanya adalah $^{x}log2$ dimana $x$ adalah basis (ingat syarat basis)

$^{x}Log\; 2=^{\sqrt{32}}Log\; 2$

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$=\frac{2}{5}$

Jawab : b

2. Nilai $x$ yang memenuhi persyaratan $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$b.\; ^{2}log\, 3$

$c.\; ^{3}log\, 2$

$d.\; -1\: atau\; 3$

$e.\; 8\: atau\; \frac{1}{2}$

Pembahasan:

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

Ingat !!!

$^{a}log=1$ artinya 1 bisa kita ubah menjadi $^{a}log\, a$ , dimana a adalah bilangan sembarangan yang > 0 dan ≠ 1. Persamaan menjadi:

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$^{2}log\, (2^{x+1}+3)=2x$

$(2^{x+1}+3)=2^{2x}$

$2^{2x}-2^{x+1}-3=0$

$2^{2x}-2.2^{x}-3=0$

$(2x)^{2}-2.2^{x}-3=0$

misalkan 2 $x$ =p

p² - 2p - 3 = 0

(p + 1) (p - 3) = 0

p = -1 atau p = 3

$2^{x}=-1\leftarrow$ tidak mungkin, karena $2^{x$ pasti selalu positif

$2^{x}=3$

$x=^{2}log\, 3$

Jawaban : b

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$a.\; -1$

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$c.\; \frac{1}{2}$

d. 1

e. 2

Pembahasan:

$^{4}log\; (4.4^{x})=2-x$

$4^{x+1}=4^{2-x}$

2 $x$ = 1

$x=\frac{1}{2}$

Jawaban: c

4. Jika a > 0 maka penyelesaian dari $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$ adalah.......

a. 1

b. 2

c. 3

d. 4

e. 5

Pembahasan:

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$^{a}log\; (2x+1).\frac{1}{2}.^{3}log\; a=1$

ingat!!!

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

kalikan ruas kanan, dan ruas kiri dengan 2 sehingga:

$\frac{log(2x+1)}{log3}=2$

$^{3}log(2x+1)=2$

2 $x$ + 1 = 9

2 $x$ = 8

$x$ = 4

Jawaban: d

5. Hasil kali nilai X yang memenuhi persamaannya: $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$ adalah.....

Pembahasan:

a. 144

b. 100

c. 72

d. 6

e. 5

Pembahasan:

$log(64\sqrt[24]{2^{x^{2}-40z}})=0$

modisifikasi persamaan logaritma menjadai:

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$64\sqrt[24]{2^{x^{2}-40}}= 1$

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$\frac{x^{2}-40x}{24}=-6$

$x^{2}-40x=-144$

$x^{2}-40x +144=0$

$x_{1}.x_{2}=\frac{c}{a}$

$=\frac{144}{1}$

= 144

Jawaban: a

6. Hasil kali akar-akar persamaan $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

$a.\; \frac{1}{9}$

$b.\; \frac{1}{3}$

c. 1

d. 2

e. 3

Pembahasan:

$^{3}log\; x^{2+^{3}logx}=15$

ingat sifat-sifat logaritma

$(2+^{3}log\, x).^{3}log\, x=5$

persamaan logaritma menjadi

$^{3}log\, ^{2}x+2.log\, x-15=0$

misalkan $^{3}log\, x=p$

$p^{2}+p-15=0$

(p+5) (P-3) = 0

p = -5 atau p = 3

$^{3}log\, x=-5\to x_{1}=3^{-5}$

$^{3}log\, x=3\to x^{2}=3^{3}$

$x_{1}.\, x_{2}=3^{-5}.\, 3^{3}=3^{-2}=\frac{1}{9}$

Jawab : a

7. Nilai yang memenuhi persamaan $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

a. -4

b. -3

c. -2

d. 3

e. 2

Pembahasan:

$^{5-4x}log(x^{2}-7x-5)=log\; 10$

syarat basis

5 - 4 $x$ > 0 dan 5 - 4 $x$ ≠ 1

(i). 5 - 4 $x$ > 0

5 > 4 $x$

(ii). 5 . 4 $x$ ≠ 1

5 - 1 ≠ 4 $x$

$x$ ≠ 1

jadi syarat basis adalah $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

Syarat noemerus:

$x$ ² - 7 $x$ - 5 > 0 → karena sulit difaktorkan $x$ yang didapatkan chek belakang saja, kita langsung kepersamaan:

$x$ ² - 7 $x$ - 5 = 5 - 4 $x$

$x$ ² - 3 $x$ - 10 = 0

( $x$ + 2) ( $x$ - 5) = 0

$x$ = -2 atau $x$ = 5

$x$ = 5

tidak memenuhi syarat habis, karena syarat basis adalah $x< \frac{5}{4}\; dan\; x\neq 1$ yang memenuhi syarat basis, adalah $x$ = -2 priksa $x$ = -2 dengan syarat numerus (-2)² - 7.(-2) - 5 = 13 > 0

$x$ = -2 ternyata memenuhi syarat numerus, sehingga $x$ = -2 adalah penyelesaian

Jawaban c

$8.\; Jika\; x^{log\, x}=10.000, maka\; ^{100} log\, x=..........$

a. -4 atau 3

b. -3 atau 3

c. -2 atau 2

d. -1 atau 1

$e.\; -\frac{1}{2}\; atau\; \frac{1}{2}$

Pembahasan:

$x^{log^{x}=10.000$

logaritma ruas kiri dan ruas kanan

$log^{log^{x}}=log\; 10.000$

ingat!!!

$log\; 10.000=^{10}log\, 10^{4}$

$=4.^{10}log\, 10$

= 4.1

= 4

persamaan menjadi

$log\, x.log\, x=p$

$p^{2}=4$

Misalkan $log\, x=p$

p² = 4

p² - 4 = 0

(p+2) (P-2) =0

p = -2 atau p = 2

kebalikan ke pemisaham

$(i).\: log\, x=-2\to x_{1}=10^{-2}=\frac{1}{100}$

$^{100}log\frac{1}{100}=-1$

$(ii).\, log\, x=2\to x_{2}=10^{2}=100$

$^{100}log\, 100=1$

jawaban : d

8. Jika $log(9^{x+4})^{\frac{1}{2}}-log\, 81^{x-5}=0$ maka nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah......

a. 14

b. 10

c. 8

d. 4

e. 2

Pembahasan:

$log(9^{x+4})^{\frac{1}{2}}-log\, 81^{x-5}=0$

Modisifikasi persamaan logaritma menjadi:

$log(9^{x+4})^{\frac{1}{2}}=log81^{x-5}$

$(9^{x+4})^{\frac{1}{2}}=log\, 81^{x-5}$

$(3^{2})^{\frac{x+4}{2}}=(3^{4})^{x-5}$

$(3)^{2.\frac{x+4}{2}}=(3)^{4^{(x-5)}}$

$3^{x+4}=3^{4x-20}$

$x$ + 4 = 4 $x$ - 20

3 $x$ = 24

$x$ = 8

Jawaban = c

$9.\; Jika \; ^{4}log^{4}log\, x-^{4}log^{4}log\, 16=2\; maka......$

$a.\; ^{2}log\, x=8$

$b.\; ^{2}log\, x=4$

$c.\; ^{4}log\, x=8$

$d.\; ^{4}log\, x=16$

$e.\; ^{16}log\, x=8$

Pembahasan :

$^{4}log^{4}log\, x-^{4}log^{4}log\, 16=2$

kita selesaikan dulu bagian

$^{4}log^{4}log\,^{4}log\, 16\; !$

ingat !!

$^{a^{n}}log\, b^{m}=\frac{m}{n}.^{a}log\, b$

$^{a}log\, a=1$

$^{4}log\, 16=^{4}log\, 4^{2}$

$=2.^{4}log\, 4$

= 2.1

= 2

$^{4}log\, 2=^{2^{2}}log\, 2$

$=\frac{1}{2}.^{2}log\, 2$

$=\frac{1}{2}.1$

$=\frac{1}{2}$

$^{4}log\frac{1}{2}=^{2^{2}}log\, 2^{-1}$

$=\frac{-1}{2}.^{2}log\, 2$

$=\frac{-1}{2}.1$

$=-\frac{1}{2}$

Sehingga

$^{4}log\, ^{4}log\: ^{4}log\, 16=^{4}log^{4}log2=^{4}log\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}$

persamaan logaritma menjadi

$^{4}log\: ^{4}log\, x-(-\frac{1}{2})=2$

$^{4}log\: ^{4}log\, x+\frac{1}{2}=2$

$^{4}log\: ^{4}log\, x=\frac{3}{2}$

Ingat sifat-sifat logaritma jika

$^{4}log\: b=c\; maka\; b=a^{c}$

Sehingga

$^{4}log\: x=4^{\frac{3}{2}}$

$^{4}log\: x=(2^{2})^{\frac{3}{2}}$

$^{4}log\: x=(2)^{2.\frac{3}{2}}$

$^{4}log\: x=(2)^{3}$

$^{4}log\: x=8$

Jawaban: c

10. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $^{2}log\, x^{(1+^{2}logx)}=2$ maka nilai $x_{1}$ + $x_{2}$ =........

$a.\; 2\frac{1}{4}$

$b.\; 2\frac{1}{2}$

$c.\; 4\frac{1}{4}$

$d.\; 4\frac{1}{2}$

$e.\; 6\frac{1}{4}$

Pembahasan :

$^{2}log\, x^{(1+^{3}log\, x)}=2$

$(1+^{2}log\, x).^{2}log\, x=2$

$^{2}log^{2}x+^{2}log\, x-2=0$

misalkan $^{2}log\, x=p$

p² + p - 2 = 0

(p + 2) (p - 1) = 0

p = -2 atau p = 1

$^{2}log\, x=-2\to x_{1}=2^{-2}=\frac{1}{4}$

$^{2}log\, x=1\to x_{2}=2^{1}=2$

$x_{1}+x_{2}=\frac{1}{4}+2=2\frac{1}{4}$

Jawaban : a

11. Nilai x yang memenuhi persamaan $^{3x+2}log\, 27=^{5}log\, 3\: adalah.......$

a. 42

b. 41

c. 39

$d.\; 7\frac{2}{3}$

$e.\; 7\frac{1}{3}$

Pembahasan:

$^{3x+2}log\, 27=^{5}log\, 3$

$^{3x+2}log\,3^{3}=^{5}log\, 3$

$3.^{3x+2}log\,3=^{5}log\, 3$

$^{(3x+2)1/3}log\, 3=^{5}log\, 3$

$(3x+2)^{1/3}=5$

3 $x$ = 123

$x$ = 41

Jawaban: b

12. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan $2(^{4}log\, x)^{2}-6(^{4}log\frac{x}{2})+1=0$ maka $x_{1}+x_{2}=.......$

a. 3

b. 4

c. 6

d. 12

e. 20

Pembahasan:

$2(^{4}logx)^{2}-6(^{4}log\frac{x}{2})+1=0$

$2(^{4}logx)^{2}-6(^{4}logx-^{4}log2)+1=0$

$2.^{4}log^{2}\, x-6.^{4}log\, x+6.\frac{1}{2}.1+1=0$

$2.^{4}log^{2}\, x-6.^{4}log\, x+4=0$

misalkan $^{4}log\, x=p$

2p² - 6p + 4 = 0

p² - 3p + 2 = 0

(p - 1) (p - 2) = 0

p = 1 atau p = 2

$^{4}log\, x=1\to x_{1}=4^{1}=4$

$^{4}log\, x=2\to x_{2}=4^{2}=16$

$x_{1}+x_{2}=4+16=20$

Jawaban: e

13. Jika $x_{1}$ dan $x_{2}$ memenuhi persamaan memenuhi persamaan $(x+1)^{log(x+1)}=\frac{(x+1)^{3}}{100}$ maka

$x_{1}+x_{2}=......$

a. 81

b. 96

c. 108

d. 120

e. 144

Pembahasan:

$(x+1)^{log(x+1)}=\frac{(x+1)^{3}}{100}$

logaritmakan ruas kiri dan ruas kanan persamaan logaritma menjadi

$log(x+1)^{log(x+1)}=log\frac{(x+1)^{3}}{100}$

$log(x+1).log(x+1)=log(x+1)^{3}-log100$

$log^{2}(x+1)=3.log(x+1)-2$

$log^{2}(x+1)=3.log(x+1)-2=0$

misalkan $log(x+1)=p$

p² - 3p - 2 = 0

(p - 1) (p - 2) = 0

p = 1 atau p = 2

$log(x+1)=1$

$x+1=10\to x_{1}=9$

$log(x+1)=2$

$x+1=100\to x_{2}=99$

$x_{1}+x_{2}=9+99=108$

Jawaban: c

15. Jika x memenuhi persamaan $^{x-2}log(x^{2}+5)=^{x-2}log(4x+10)$ dan a memenuhi a $x$ = 7maka nilai a + $x$ = .......

$a.\; -\frac{32}{5}$

$b.\; -6$

c. 6

$d.\; \frac{32}{5}$

e. 8

Pembahasan:

$^{x-2}log(x^{2}+5)=^{x-2}log(4x+10)$

syarat basis

$x-2> 0\; dan\; x-2\neq 1$

$x> 2\; dan\; x\neq 3.......*$

syarat numerus

(i). $x^{2}$ + 5 > 0 definitif positif selalu memenuhi untuk semua nilai $x$

(ii). 4 $x$ > - 10

$x> -10$

$x> -\frac{5}{2}.........**$

persamaan

$x^{2}$ + 5 = 4 $x$ + 10

$x^{2}$ - 4 $x$ - 5 = 0

( $x$ + 1) ( $x$ - 5) = 0

$x$ = 5 atau $x$ = 1

$x$ = 1 tidak memenuhi syarat basis adalah $x$ > 2 dan $x$ ≠ 3 yang memenuhi syarat basis adalah $x$ = 5

a $x$ = 7

5a = 7

$a=\frac{7}{5}$

$a+x=\frac{7}{5}+5$

$=\frac{32}{5}$

Jawaban: d

$16.\; Jika\; \frac{1}{^{2}log\, p+^{4}log\, q}=4\; maka\; p^{2}q=.....$

$a.\; \frac{3}{2}$

$b.\; \sqrt{2}$

$c.\; \frac{1}{2}$

$d.\; \sqrt{3}$

e. 4

Pembahasan :

$\frac{1}{^{2}log\, p+^{4}log\, q}=4$

$\frac{1}{^{2}log\, p+\frac{1}{2}.^{2}log\, q}=4$

$\frac{1}{^{2}log\, p+^{2}log\,\sqrt{q}}=4$

$\frac{1}{^{2}log\,(p.\sqrt{q})=4$

Ingat!!

$\frac{1}{^{a}log\, b}=^{b}log^{a}$

$^{\sqrt[p]{q}}log\, 2=4$

$2=(p\sqrt{q})^{4}$

$\sqrt{2}=p^{2}q$

Jawaban: b

17. Nilai $x$ yang memenuhi $^{2-3x}log(x^{2}-2x+2)=^{2}log \,4 \: adalah.......$

$a.\; 1.\frac{1}{3}$

b. 2.1

$c.\; 3.\frac{2}{3}$

$d.\; 4.\frac{1}{4}$

e. 2.1

Pembahasan:

syarat basis:

2 - 3 $x$ > 0 dan 2 - 3 $x$ ≠ 1

$x< \frac{8}{3}\; dan\; \frac{2}{3}\; dan\; x\neq \frac{1}{3}.......*$

Syarat numerus

$x^{2}-2x+2> 0\leftarrow definisi\; positif$

memenuhi untuk semua nilai $x$

Persamaan

$^{2-3x}log(x^{2}-2x+2)=^{2}log\,4$

$^{2-3x}log(x^{2}-2x+2)=2$

$x^{2}-2x+2=4-12x+9x^{2}$

$8x^{2}-10x+2=0$

$4x^{2}-5x+1=0$

$(4x-1)(x-1)=0$

$x=\frac{1}{4}\; atau\; x=1$

karena syarat basis adalah :

$x< \frac{2}{3}\; dan\; x\neq \frac{1}{3}$

maka $x$ yang memenuhi syarat adalah $\frac{1}{4}$ opsi yang benar adalah opsi 4

Jawaban: 4

18. Jika (p, q) merupakan penyelesaian dari sistem berikut,

$^{3}log\, x+^{2}log\, y=4$

$^{3}log(x^{2})-^{4}log(4y^{2})=1$

maka nilai p - q = ..........

a. 2

b. 4

c. 5

d. 9

e. 13

Pembahasan:

$^{3}log+^{2}log\, y=4..........*$

$^{3}log(x^{2})-^{4}log(4y^{2})=1$

$2.^{3}log\, x-(^{4}log\, 4+^{4}log\, y^{2})=1$

$2.^{3}log\, x-^{4}log\, 4-^{4}log\, y^{2}=1$

$2.^{3}log\, x-1-\frac{2^{2}}{2}\, log\, y=1$

$2.^{3}log\, x-^{2}log\, y=2........**$

eliminasi pers * dan pers **

subtansi $x$ = 9 ke pers *

$^{3}log\, 9+^{2}log\, y=4$

$2+^{2}log\, y=4$

$^{2}log\, y=2$

$y=2^{2}$

$y=4\to q=4$

p - q = 9 - 4 = 5

Jawaban : c

$19.\; Jika\; ^{4}log(^{2}log\, x)+^{2}log(^{4}log\, x)=2$ maka $^{5}log\sqrt{x+\sqrt{x}+5}=.......$

a. 1

b. 2

c. 4

d. 5

e. 16

Pembahasan:

$^{4}log(^{2}log\, x)+^{2}log(^{4}log\, x)=2$

$\frac{1}{2}.^{2}log(^{2}log\, x)+^{2}log(\frac{1}{2}.^{2}log\, x)=2$

$^{2}log(\sqrt{^{2}log\, x})+^{2}log(\frac{1}{2}.^{2}log\, x)=2$

$^{2}log(\frac{1}{2}.^{2}log\, x.\sqrt{^{2}log\, x})=^{2}log\, 4$

$\frac{1}{2}.^{2}log\, x.\sqrt{^{2}log\, x}=4$

$(^{2}log\, x)^{\frac{3}{2}}=8$

$(^{2}log\, x)=8^{\frac{2}{3}}$

$^{2}log\, x=4$

$x=2^{4}$

$x$ = 2⁴

$x$ = 16

$^{5}log\sqrt{x+\sqrt{x}+5}=^{5}log\sqrt{16+\sqrt{16}+5}$

$=^{5}log\sqrt{25}$

$=^{5}log\, 5$

= 1

Jawaban: a

20. Jika $x$ memenuhi persamaan $x^{2log\, x}=16\; maka\; ^{4}log\, x^{2}$

a. 2 atau -2

$b.\; 4\, atau\, \frac{1}{4}$

c. 1 atau -1

d. 4 atau -4

$e.\; 2\, atau\, \frac{1}{2}$

Pembahasan :

$x^{2log\, x}=16$

$^{x}log\,16=^{2}log\, x$

$^{x}log\,2^{4}=^{2}log\, x$

$4.^{x}log\, 2=^{2}log\, x$

$4.\frac{log\, 2}{log\, x}=\frac{log\, x}{log\, 2}$

$4=\frac{log^{2}\; x}{log^{2}\; \: 2}$

$4=\left ( \frac{log\, x}{log\, 2} \right )^{2}$

$4=^{2}log^{2}\, x$

$^{2}log\, x=2\; atau\; ^{2}log\, x=-2$

yang ditanyakan adalah : $^{4}log\, x^{2}= \; ?$

$^{4}log\, x^{2}=\frac{2}{2}.^{2}log\, x$

$=^{2}log\, x$

= 2 atau -2

Jawaban: a

Pengertian Pertidaksamaan Logaritma

Pertiadaksamaan logaritma adalah bentuk lain dari Persamaan Logaritma, dimana tanda "=" diganti dengan tanda" <, ≤, >, ≥". Untuk mempermudah pemahaman tentang pertidaksamaan logaritma, diharapkan adik-adik mempelajari kembali materi Pertidaksamaan. Ada keterkaitan yang sangat erat antara basis atau bilangan pokok logaritma dengan pertidaksamaan logaritma. Perhatikan rumus-rumus penting berikut !

Rumus-Rumus Pertidaksamaan Logaritma

A. Untuk a < 0 < 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
  1. Jika $^{a}log$ f(x) < $^{a}log$ g(x) → f(x) > g(x)
  2. Jika $^{a}log$ f(x) ≤ $^{a}log$ g(x) → f(x) ≥ g(x)
  3. Jika $^{a}log$ f(x) > $^{a}log$ g(x) → f(x) < g(x)

4. Jika alog f(x) ≥ $^{a}log$ g(x) → f(x) ≤ g(x)

B. Untuk a > 1 dan f(x) > 0 dan g(x) > 0.
1. Jika $^{a}log$ f(x) < $^{a}log$ g(x) → f(x) < g(x)
2. Jika $^{a}log$ f(x) ≤ $^{a}log$ g(x) → f(x) ≤ g(x)

3. Jika $^{a}log$ f(x) > $^{2}log$ g(x) → f(x) > g(x)
4. Jika $^{a}log$ f(x) ≥ $^{a}log$ g(x) → f(x) ≥ g(x)

Kadang-kadang kita membutuhkan pemisalan untuk menyelesaikan pertidaksamaan logaritma. Dengan pemisalan, kita bisa membuat pertidaksamaan logaritma menjadi lebih sederhana. Supaya adik-adik paham tentang pertidaksamaan logaritma, silahkan simak soal Pertidaksamaan logaritma berikut.

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma

21. Nilai $x$ yang memenuhi pertidaksamaan $^{2}log(2x-3)< 3\; adalah.........$

$a.\; x> \frac{3}{2}$

$b.\; x< \frac{3}{2}$

$c.\; x< \frac{11}{2}$

$d.\; \frac{3}{2}< x< \frac{11}{2}$

$e.\;x> \frac{11}{2}$

Pembahasan:

$^{2}log(2x-3)< 3$

syarat numerus

2 $x$ > 3 > 0

2 $x$ > 3

$x> \frac{3}{2}.........*$

syarat pertidaksamaan

$^{2}log(2x-3)< \; ^{2}log\, 8$

karena bilangan pokok atau basis > 1 maka pertidaksamaan logaritma menjadi

2 $x$ - 3 $<$ 8

2 $x$ $<$ 11

$x< \frac{11}{2},,,,,,**$

$(*)\bigcap (**)\to \frac{3}{2}< \frac{11}{2}$

Jawaban: d

22. Jika $^{\frac{1}{3}}log(3x+2)\geq -2$ maka nilai X yang memenuhi adalah.........

$a.\; x> -\frac{2}{3}$

$b.\; x\leq \frac{7}{3}$

$c.\; x< \frac{2}{3}$

$d.\;- \frac{2}{3}$

$e.\;- \frac{2}{3}\leq x\leq \frac{7}{3}$

Pembahasan:

$^{\frac{1}{3}}log(3x+2)\geq -2$

syarat basis

syarat basis sudah terpenuhi karena basis atau bilangan pokok adalah, $\frac{1}{3}> 0\; dan\; \neq$

syarat numerus

3 $x$ + 2 > 0

3 $x$ > -2

$x> -\frac{2}{3}.............*$

syarat pertidaksamaan

$^{\frac{1}{3}}log(3x+2)\geq ^{\frac{1}{2}}log(\frac{1}{3})^{-2}$

karena basisnya adalah

$\frac{1}{3}\to 0< a< 1$

maka pertidaksamaan logaritma menjadi

$3x+2\leq (\frac{1}{3})^{-2}$

$3x+2\leq 3^{2}$

$3x+2\leq 9$

$3x+2\leq 7$

$x\leq \frac{7}{3}................**$

$(1)(2)\to -\frac{2}{3}< x\leq \frac{7}{3}$

Jawaban: d

23. Jika $^{3}log(x^{2}-2x)< ^{3}log(2x-3)$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah....

$a.\; x< 0\; atau\; x> 2$

$b.\;1<x < 3$

$c.\;2<x < 3$

$d.\;-1<x < 2$

$e.\;x<2\; atau\; x>0$

Pembahasan:

$^{3}log(x^{2}-2x)< \; ^{3}log(2x-3)$

syarat basis sudah terpenuhi karena basisnya adalah 3 > 0 dan ≠ 1

syarat numerus

(i). $x$ ² - 2 $x$ dan ≠ 1

$x$ ( $x$ - 2) > 0

$x$ < 0 atau $x$ > 2 ................*

(ii). 2 $x$ - 3 > 0

2 $x$ > 0

$x> \frac{3}{2}...........**$

syarat pertidaksaaan karena basisnya adalah 3(a > 1), maka pertidakasamaan logaritma menjadi:

$x$ ² - 2 $x$ < 2 $x$ - 3

$x$ ² - 4 $x$ + 3 < 0

( $x$ -1) ( $x$ - 3) < 0

1 < $x$ < 3..................***

$(*)\bigcap(**)\bigcap (***)\to 2< x<0$

24. Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan: $^{\frac{1}{2}}log(2x^{2}-3x)\geq ^{\frac{1}{2}}log(2x+3)$ adalah.................

$a.\; -\frac{3}{2}< x< 0$

$b.\; -\frac{1}{2}< x< 3$

$c.\; x< \frac{1}{2}\; atau\; x> 0$

$d.\; x< 2\; atau\; x> 0$

$e.\; -\frac{1}{2}\leq x< 0\; atau\; \frac{3}{2}< x\leq 3$

Pembahasan:

$^{\frac{1}{2}}log(2x^{2}-3x)\geq ^{\frac{1}{2}}log(2x+3)$

syarat basis

syarat basis sudah terpenuhi

syarat numerus

(i). 2 $x$ ² - 3 $x$ > 0

$x$ (2 $x$ -3) > 0

$x< 0\; atau\; x> \frac{3}{2}............*$

(ii). 2 $x$ + 3 > 0

2 $x$ > -3

$x> -\frac{3}{2}............**$

syarat pertidaksamaan karena basisinya adalah $\frac{1}{2}(0< a< 1)$ maka pertidaksamaan logaritma menjadi

2 $x$ ² - 3 $x$ ≤ 2 $x$ + 3

2 $x$ ² - 5 $x$ - 3 ≤ 0

(2 $x$ + 1)( $x$ - 3) ≤ 0

$-\frac{1}{2}\leq x\; 3............***$

$(*)\bigcap (**)\bigcap (***)\to -\frac{1}{2}\leq x< 0\; atau\; \frac{3}{2}< x\leq 3$

Jawab: e

$25.\;Jika\; ^{2}log\, ^{2}x-7.^{2}log\, x+10< 0$ maka nilai $x$ yang memenuhi adalah..........

a. $x$ < 4

b. 0 < $x$

c. -2 < $x$ < 16

d. $x$ > 32

e. $x$ < -4

Pembahasan:

$^{2}log\, x-7.\, ^{2}log\, x+10< 0$

syarat numerus

$x$ > 0.....................*

misalkan $^{2}log\, x=p$ pertidaksamaan logaritma menjadi

$p^{2}-7p+10< 0$

$(p-2)(p-5)< 0$

$2< p< 5$

$2< \, ^{2}logx< 5$

$^{2}log\, 4< ^{2}log\, x< ^{2}log\, 32$

4 < $x$ < 32 ................**

$(*)\bigcap (**)\to 4< x< 32$

Jawaban: d

26. Himpunan penyelesaian dari $log(x^{2}+4x+4)\leq log(5x+10)$ adalah.............

$a.\; \left\{ x\,|-2< x\leq 3\right\}$

$b.\; \left\{ x\,|x\leq 3\right\}$

$c.\; \left\{x\, |-3x\leq 2\right\}$

$d.\; \left\{x\, |x\leq -2\; atau\; x\geq 3\right\}$

$e.\; \left\{x\, |-2\leq -2\; atau\; x\geq 3\right\}$

Pembahasan:

$log\, (x^{2}+4x+4)\leq log(5x+10)$

syarat numerus

(i). $x$ ² + 4 $x$ + 4 > 0

( $x$ + 2)² > 0→ selalu memenuhi jika $x$ ≠ -2.................*

(ii). 5 $x$ + 10 > 0

5 $x$ > -10

$x$ > -2...................**

syarat pertidaksamaan karena basis adalah 10 > 1, maka pertidaksamaan logaritma menjadi:

$x$ ² + 4 $x$ + 4 ≤ 5 $x$ + 10

$x$ ² - $x$ - 6 ≤ 0

( $x$ + 2) ( $x$ - 3) ≤ 0

-2 ≤ $x$ ≤ 3....................***

$(*)\bigcap (**)\bigcap (***)\to -2< x\leq 3$

Jawaban: a

27. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $2\, logx\leq log(x+3)+log\, 4$ adalah............

$a.\; \left\{x|-2\leq x\leq 6 \right\}$

$b.\; \left\{x|x> 6 \right\}$

$c.\; \left\{x|0< x\leq 6\right\}$

$d.\; \left\{x|0< x\leq 2\right\}$

$e.\; \left\{x|0< x\leq 6 \; atau\; x=6\right\}$

Pembahasan:

$2\,log\, x\leq log(x+3)+log\, 4$

syarat numerus

(i). $x$ > 0 ....................*

(ii). $x$ + 3 > 0

$x$ > -3..............................**

syarat pertidaksamaan

$log^{2}\leq log(x+3).4$

karena basis adalah 10 > 1 maka pertidaksamaan logaritma menjadi:

$x$ ² ≤ 4 $x$ + 12

$x$ ² - 4 $x$ - 12 < 0

( $x$ + 2) ( $x$ - 6) ≤ 0

-2 ≤ $x$ ≤ 6......................***

$(*)\bigcap (**)\bigcap (***)\to 0< x\leq 6$

Jawaban: c

28. Nilai yang memenuhi $\frac{1}{^{2}log\, x}-\frac{1}{^{2}log\, x-1}< 1$ adalah..............

a. $x$ < 1 atau $x$ > 0

b. 1 < $x$ < 2

c. 0 < $x$ < 2

d. $x$ < 2 atau $x$ > 3

e. 0 < $x$ < 1 atau $x$ > 2

Pembahasan:

$\frac{1}{^{2}log\, x}-\frac{1}{^{2}log\, x-1}< 1$

syarat numerus

$x$ > 0...................*

misalkan $^{2}log\, x=p$

$\frac{1}{p}-\frac{1}{p-1}-1< 0$

$\frac{p-1}{p(p-1)}-\frac{p}{p(p-1)}-\frac{p(p-1)}{p(p-1)}< 0$

$\frac{-p^{2}+p-1}{p(p-1)}> p^{2}-p+1$

definitif positif, bisa diabaikan ingat jika a > 0 dan D < 0 disebut depinitif positif

p (p - 1) > 0

p < 0 atau p >1

$^{2}log\,x< 0\; atau\; ^{2}log\,x> 1$

$x$ < 1 atau $x$ > 2.........................**

$(1)\bigcap (2)\to 0< x< 1\; atau\; x> 2$

Jawaban: e

29. Nilai-nilai x yang memenuhi $^{2}log\, x-\, ^{2}log\, 2> 0$ adalah..............

a. $x$ > 2

b. $x$ > 1

$c.\; \frac{1}{2}< x\; 1\; atau\; x> 0$

d. -1 < $x$ < 0 atau $x$ > 1

e. 1 < $x$ < 2

Pembahasan:

$^{2}log\, x-^{2}log\, 2> 0$

syarat basis dan numerus

$x$ > 0 dan $x$ ≠ 1...................*

$^{2}log\, x-\frac{1}{^{2}log\, x}> 0$

misalkan $^{2}log\, x=p$

$p-\frac{1}{p}> 0$

$\frac{p^{2}-1}{p}> 0$

(p + 1) p (p - 1) > 0

$-1< ^{2}log\, x< 0\; atau\; ^{2}log\, x> 1$

$^{2}log\frac{1}{2}< \; ^{2}log\,x< ^{2}log\; atau\; ^{2}log\, x> ^{2}log\, 2$

$\frac{1}{2}< x< 1\; atau\; x> 2.............**$

$(*)\bigcap (**)\to \frac{1}{2}< x< 1\; atau\; x> 2$

Jawaban: c

30. Nilai-nilai yang memenuhi : $4(^{\frac{1}{2}}log\, t)< \; ^{\frac{1}{2}}log\,81$ adalah.............

a. t < 3

b. -3 < t < 3

c. 0 < t < 3

d. -3 < t < 0

e. t < -3 atau t > 0

Pembahasan:

$4(^{\frac{1}{2}}log\, t)< \; ^{\frac{1}{2}}log\, 81$

$^{\frac{1}{2}}log\, t^{4}< \; ^{\frac{1}{2}}log\, 81$

syarat numerus

t⁴ > 0

selalu memenuhi untuk t ≠ 0 ....................*

$(^{\frac{1}{2}}log\, t^{4})< \; ^{\frac{1}{2}}log\, 81$

t⁴ > 81

t⁴ - 81 > 0

(t² + 9) (t² -9) > 0

t² + 9 definitip positif

(t² - 9) > 0

(t + 3) (t - 3) > 0

t < -3 atau t > 3.......................**

$(1)\bigcap (2)\to t< -3\; atau\; t> 0$

Jawaban: e

31. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $^{2}log^{2}x+2^{2}log\, 2x> 2$ adalah............

$a.\; \left\{x|1< x< 4,x\; \epsilon R \right\}$

$b.\; \left\{x|\frac{1}{4}< x< 1,x\; \epsilon R \right\}$

$c.\; \left\{x|x< \frac{1}{4}\; atau\; x> 1,\; x\; \epsilon R \right\}$

$d.\; \left\{x|0< x< \frac{1}{4}\; atau\; x> 1,\; x\; \epsilon R \right\}$

$e.\; \left\{x|0< x<1\; atau\; x> 4,\; x\; \epsilon R \right\}$

Pembahasan:

$^{2}log^{2}x+2^{2}log2x> 2$

$^{2}log^{2}x+2(^{2}log2+^{2}log\, x)> 2$

$^{2}log^{2}x+2.^{2}log\, 2+2\; ^{2}log\, x> 2$

$^{2}log^{2}x+2.1+2\; ^{2}log\, x> 2$

$^{2}log^{2}x+2 ^{2}log\, x> 0$

$misalkan\; ^{2}log\, x=p$

p (p + 2) > 0

p < -2 atau p > 0

$^{2}log\, x< -2\to x< \frac{1}{4}$

$^{2}log> 0\to x> 1$

Himpunan penyelesian:

$\left\{x|x< \frac{1}{4}\; atau\; x> 1,\; x\; \epsilon \; R \right\}$

Jawaban: c

32. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan $^{a}log\, ^{2}x+4^{a}logx+3< 0$ dengan a > 1 adalah.......

$a.\; a^{-3}< x< a^{-1}$

$b.\; a^{-1}< x< a^{3}$

$c.\; a^{-1}< x< a^{-3}$

$d.\; a^{-3}< x< a$

$e.\; 1< x< a^{-3}$

Pembahasan:

Misalkan $^{a}log\,x=p$

$p^{2}+4p+3< 0$

$(p+3)(p+1)< 0$

$-3< p< -1$

$-3< \, ^{a}log\, x< -1$

Jawaban: a

33. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan $35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$ dengan 0 < a < 1 adalah.......

Pembahasan:

misalkan $^{a}log\, x=p$

$(^{a}log\, x)^{2}-^{a}log\, x-2> 0$

$p^{2}-p-2> 0$

$(p+1)(p-2)> 0$

$p< -1\; atau\; p> 2$

0 < a < 1

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

atau

$35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma$

Jawaban: a

Nikekuko

35 Contoh Soal dan Pembahasan Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Pengertian Persamaan Logaritma

Contoh Soal

Pengertian Pertidaksamaan Logaritma

Rumus-Rumus Pertidaksamaan Logaritma

Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Logaritma

Menu Halaman Statis