52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri

Pengertian Transformasi Geometri
Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri SMA kelas 11. Transformasi Geometri adalah perubahan letak, ukuran dan bentuk dari suatu bangun. Transformasi Geometri bisa terjadi karena pergeseran (translasi), pencerminan (refleksi), perputaran (rotasi), dan perkalian (dilatasi). Transformasi geometri merupakan suatu pemetaan dari suatu titik pada bidang ke titik lain pada bidang yang sama. Titik yang merupakan peta dari titik asal disebut bayangan. Jika bayangan dari suatu bangun yang mengalami transformasi kongruen dengan bangun yang ditransformasikan, maka transformasinya disebut sebagai transformasi isometri.

Rumus Transformasi Geometri Translasi atau Pergeseran

A. Translasi Titik

Suatu translasi atau pergeseran bisa terjadi pada arah sumbu x atau sumbu y, maupun ke kedua arah sekaligus. Translasi sejauh a searah sumbu x dan sejauh b searah sumbu y dapat dinyatakan dengan matriks kolom yaitu:

$T=\binom{a}{b}$

Jika titik $A(x,y)$ ditranslasi oleh $T=\binom{a}{b}$ maka hasilnya atau petanya
adalah $A'(x+a, y+b)$

Hal ini bisa dituliskan dengan:

$A(x, y)\overset{\binom{a}{b}}{\rightarrow}A'(x+a, y+b)$ atau $52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

Contoh Soal:

1. Titik K (p, q) ditranslasi oleh $\binom{3}{4}$ menghasilkan peta K' (5, 8). Nilai p + q adalah......

Pembahasan:

$\binom{x'}{y'}=\binom{x+a}{y+b}$

$\binom{5}{8}=\binom{p+3}{q+4}$

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

$\binom{p}{q}=\binom{2}{4}$

jadi K (2, 4)

p 2, q = 4 →p + q = 2 + 4 = 6

Soal 2

Tentukan peta titik P(5, 3) yang dititranslasi oleh $\binom{1}{-4}$

Pembahasan:

Cara 1

$p(x,y)\overset{\binom{a}{b}}{\rightarrow}P'(x+a,y+b)$

$P(5,3)\overset{\binom{1}{-4}}{\rightarrow}P'(5+1,3+(-4))=P'(6,-1)$

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{x+a}{y+b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{5+1}{3+(-4)}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{6}{-1}$

Jadi P' (6, 1)

Soal 3

Tentukan peta titik A(3, 7) yang distitranslasi oleh $\binom{-2}{5}$

Pembahasan:

Cara 1

$A(x,y)\overset{\binom{a}{b}}{\rightarrow}A'(x+a,y+b)$

$A(3,7)\overset{\binom{-2}{5}}{\rightarrow}A'(3+(-2),7+5)=A'(1,12)$

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{x+a}{y+b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{3+(-2)}{7+5}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{1)}{12}$

Jadi A' (1, 12)

B. Translasi Kurva

Transformasi translasi atau pergeseran hanyalah mengubah posisi dari bangun yang ditranslasikan dan tidak mengubah bentuk dari bangun tersebut. Jika sebuah kurva ditranslasikan, maka bentuk kurvanya tidak berubah, yang berubah adalah posisi dari kurva tersebut. Perubahan posisi yang dialami kurva akan diikuti oleh perubahan persamaan kurva. Persamaan kurva yang baru atau peta dari kurva yang ditranslasikan dapat dinyatakan sebagai berikut:
Jika kurva $y=f(x)$ ditranslasi oleh $\binom{a}{b}$ maka petanya
adalah: $y-b=f(x-a)$

Soal 4

Jika garis $y=2x+3$ ditranslasi oleh $\binom{4}{3}$ maka petanya adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{a}{b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{4}{3}$

$\binom{x}{y}=\binom{x'}{y'}-\binom{4}{3}$

$x=x'-3...........*$

$y=y'-4...........**$

$y=2x+3...........***$

masukan pers * dan ** dalam pers ***

$y'-4=2(x'-3)+3$

$y'-4=2x'-6+3$

$y'=2x'+1$

Hitunglah tanda (') !!

$y=2x+1$

$y-b=f(x-a)$

$y-4=2(x-3)+3$

$y-4=2x-6+3$

$y=2x+1$

Soal 5

Translasi oleh $\binom{-1}{2}$ menghasilkan bayangan $y-x^{2}-1=0$ . Tentukan persamaan kurva awal.

Pembahasan:

Karena $y-x^{2}-1=0$ adalah peta dari kurva awal maka kita bisa anggap bahwa persamaannya adalah:

$y'-(x')^{2}-1=0$

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{a}{b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{-1}{2}$

$x'$ = $x$ - 1.......................*

y'=y + 2 .......................*

y'-( $x'$ )² - 1 = 0.............***

Masukan perds * dan ** dan ***

y + 2- ( $x$ -1)² - 1 = 0

y + 2 - ( $x$ ² - 2 $x$ ) + 1= 0

y+2 - $x^{2}$ + 2 $x$ -1 - 1 = 0

y- $x^{2}$ + 2 $x$ = 0

Jadi persamaan kurva awal adalah y - $x^{2}$ + 2 $x$ = 0

Soal 6

Tentukan peta dari parabola y = $x^{2}$ - 3 $x$ + 2 jika ditranslasi oleh $\binom{3}{2}$ !!!

Pembahasan :

Cara 1

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{3}{2}$

$\binom{x}{y}=\binom{x'}{y'}-\binom{3}{-2}$

$x=x'-3............*$

$y=y'-(-2)\to y=y'+2...........**$

$y=x^{2}-3x+2...........***$

Masukan pers * dan ** ke pers ***

$y'+2(x'-3)^{2}-3(x'-3)+2$

Hilangkan tanda (') !!

y + 2 = $x^{2}$ - 6 $x$ + 9 - 3 $x$ + 9 + 2

y + 2 = $x^{2}$ - 9 $x$ + 20

y = $x^{2}$ - 9 $x$ + 18

Cara 2

y - b = f ( $x$ - a)

y - (-2) = ( $x$ - 3)² - 3 ( $x$ -3) + 2

y + 2 = $x$ ² - 6 $x$ + 9 - 3 $x$ + 9 + 2

y = $x$ ² - 9 $x$ + 18

C. Komposisi Dua Translasi Berurutan

Jika titik atau kurva ditranslasikan dengan matriks translasi pertama sebagai T1 dan dilanjutkan dengan translasi dengan matriks translasi kedua sebagai $T_{2}$ , maka $T_{2}\; o\; T_{1}=T_{1}+T_{2}$ Misalkan $T_{1}=\binom{a}{b}$ dan $T_{2}=\binom{c}{d}$ maka $T_{2}\; o\; T_{2}=\binom{a+c}{b+d}$

Soal 7
Bayangan titik A(3,2) jika ditranslasikan oleh $T_{1}=\binom{2}{-2}$ dan dilanjutkan oleh $T_{2}=\binom{1}{4}$ adalah . . . ....

$T_{2}\; o\; T_{1}=\binom{2+1}{-2+4}$

$T_{2}\; o\; T_{1}=\binom{3}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{3}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{3}{2}+\binom{3}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{6}{4}$

Jadi A' (6, 4)

Soal 8

Persamaan bayangan garis lurus y = 3 $x$ +2 yang ditransilasi oleh $T_{1}=\binom{3}{2}$ dan dilanjutkan oleh $T_{2}=\binom{1}{3}$ adalah .......

Pembahasan :

$T_{2}\; o\; T_{1}=T_{1}+T_{2}$

$=\binom{3}{-2}+\binom{1}{3}$

$=\binom{4}{1}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}+\binom{4}{1}$

$\binom{x}{y}=\binom{x'}{y'}-\binom{4}{1}$

$x=x'-4..........*$

$y=y'-1..........**$

$y=3x+2..........***$

Masukan pers * dan ** ke pers ***

$y'-1=3(x'-4)+2$

Hilangkan tanda (') !!

y - 1 = 3 $x$ - 12 + 2

y = 3 $x$ -9

Transformasi Geometri Refleksi atau Pencerminan

Refleksi atau pencerminan merupakan transformasi isometri yang memindahkan semua titik pada bangun yang ditransformasikan ke arah cermin dengan menggunakan prinsip-prinsip pembentukan bayangan pada cermin datar. Sesuai prinsip pembentukan bayangan pada cermin datar, bahwa jarak antara titik ke cermin selalu sama dengan jarak antara bayangan titik dengan cermin. Beberapa jenis pencerminan yang umum adalah:

Rumus Pencerminan Terhadap Sumbu $x$

A. Pencerminan Titik Terhadap Sumbu $x$ .
Jika titik A( $x$ ,y) dicerminkan terhadap sumbu x, maka bayangannya
adalah titik A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′= $x$ dan y′=−y .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{1\; \; \; \; \; \; 0}{0\; -1}\binom{x}{y}$

soal 9.
Tentukan peta dari titik A(5,1) jika dicerminkan terhadap
sumbu $x$ !

Pembahasan :

cara 1

$x'=x=5$

$y'=-y=-1$

peta atau bayangan titik A(5, 1) adalah A' (5, -1)

cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{1\;\; \; \; \; 0}{0\; -1}\binom{5}{1}$

$=\binom{1.5+0.1}{0.5+(-1).1}$

$=\binom{5}{-1}$

peta atau bayangan titik A(5, 1) adalah A' (5, -1)

soal 10.
Tentukan peta dari titik P(−3,−5) jika dicerminkan terhadap
sumbu $x$ !

Cara 1

$x'=x=-3$

$y'=-y=-(-5)=5$

peta atau bayangan titik P(-3, -5) adalah P'(-3, 5)

Cara 2

$\; \binom{x'}{y'}=\binom{1\; \; \; 0}{0\; -1}\binom{-3}{-5}$

$=\binom{1.(-3)+0.(-5)}{0.(-3)+(-1).(-5)}$

$=\binom{-3}{5}$

Peta atau bayangan titik A(-3, -5) adalah A'(-3, 5)

soal 11.
Tentukanlah peta dari kurva 2 $x$ +3y+5=0 jika direfleksikan
terhadap sumbu $x$ !

Pembahasan:

Cara 1

$x'=x\rightarrow x=x'............*$

$y'=-y\rightarrow y=-y............**$

$2x+3y+5=0\rightarrow y=-y............***$

Masukan pers * dan ** ke pers ***

$2x'+3(-y')+5=0$

Hilangkan tanda

$2x-3y+5=0$

cara 2

$2x+3y+5=0$

$3y=-2x-5$

$y=f(x)=-\frac{2}{3}x-\frac{5}{3}$

peta atau bayangan

$y=-f(x)$

$y=-\left ( -\frac{2}{3}x-\frac{5}{3} \right )$

$y=\frac{2}{3}x+\frac{5}{3}$

3y = 2 $x$ + 5

2 $x$ - 3y + 5 = 0

soal 12.
Tentukanlah peta dari kurva y= $x$ ²−3 $x$ +2 jika direfleksikan
terhadap sumbu $x$ !

Pembahasan :

Cara 1

$x'=x\to x=x'............*$

$y'=-y\to y=-y'............**$

$y=x^{2}-3x+2............***$

masukan pers * dan ** ke pers ***

$-y'=(x')^{2}-3(x')+2$

Hilangkan tanda (')

$-y'=x^{2}-3x+2$

$y=-x^{2}+3x-2$

Cara 2

$y=-f(x)$

$=-(x^{2}-3x+2)$

$=-x^{2}+3x-2$

Rumus Pencerminan Terhadap Sumbu Y

A. Pencerminan Titik Terhadap Sumbu y

Jika titik A( $x$ ,y) dicerminkan terhadap sumbu y maka bayangannya
adalah titik A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′=− $x$ dan y′=y .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\;\; 0}{0\; \: \: 1}\binom{x}{1}$

soal 13.
Tentukanlah bayangan atau peta dari titik A(2,5) jika
dicerminkan terhadap sumbu y !

Pembahasan :

Cara 1

$x'=-x=-2$

$y'=y=5$

peta atau bayangan dari titik A (2, 5) adalah titik A'(-2, 5)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}.\binom{-1\; 0}{0\; \; \; 1}\binom{2}{5}$

$=\binom{(-1).2+0.5}{0.2+1.5}$

$=\binom{-2}{5}$

peta atau bayangan titik A(2, 5) adalah A' (-2, 5)

soal 14.
Tentukanlah peta atau bayangan dari titik B(−3,−4) jika
direfleksikan terhadap\sumbu y !

Pembahasan :

Cara 1

$x'=-x=-(-3)=3$

y' = y = -4

peta atau bayangan titik B (-3, -4) adalah B' (3, -4)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; 0}{\; 0 \; \; 1}\binom{-3}{-4}$

$=\binom{(-1)(-3)+0.(-4)}{0.(-3)+1.(-4)}$

$=\binom{3}{-4}$

peta atau bayangan titik A(-3, -4) adalah A' (3, -4)

B pencerminan kurva terhadap sumbu y jika y = f ( $x$ ) dicerminkan terhadap sumbu y maka peta dari kurva tersebut adalah y = f (- $x$ )

soal 15.
Tentukanlah peta dari kurva y=2 $x$ −1 jika direfleksikan
terhadap sumbu y

Pembahasan :

Cara 1

$x'=-x\to x=-x'..............*$

$y'=y\to y=y'..............**$

$y=2x-1..............***$

masukan pers* dan ** ke pers ***

$y^{2}=2(-x')-1$

hilangkan tanda (')!!!

y = -2 $x$ - 1

Cara 2

y = f( $x$ ) = 2 $x$ -1

peta atau bayangan

y = f(- $x$ )

y = 2 (- $x$ ) - 1

y = -2 $x$ - 1

soal 16.
Tentukanlah peta atau bayangan dari kurva $x$ ²−2y+2 $x$ −4=0
jika dicerminkan terhadap sumbu y !

Pembahasan :

Cara 1

$x'=-x\to x=-x'.............*$

$y=y\to y=y'.............**$

$x^{2}-2y+2x-4=0.................***$

masukan pres * dan ** ke pers ***

$(-x')^{2}-2y'+2(-x')-4=0$

Hilangkan tanda (') !!

$x$ ² - 2y - 2 $x$ = 0

$x$ ² - 2 $x$ - 4 = 2y

$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-2$

Cara 2

$x$ ² - 2y + 2 $x$ - 4 = 0

$x$ ² + 2 $x$ - 4 = 2y

$y=f(x)=\frac{1}{2}x^{2}+x-2$

peta atau bayangan

y = f (- $x$ )

$y=\frac{1}{2}(-x)^{2}-x-2$

$y=\frac{1}{2}x^{2}-x-2$

Rumus Pencerminan Terhadap Garis $x$ = h

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis $x$ =h

Jika titik A( $x$ ,y) direfleksikan terhadap garis $x$ =h, maka
bayangannya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′=2h− $x$ dan y′=y .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; 0}{0\; \; 1}\binom{x}{y}+\binom{2h}{0}$

soal 17.
Tentukanlah bayangan dari titik A(4,−2) jika direfleksikan
terhadap garis $x$ =3 !

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = 2h - $x$ = 2.3- 4 = 2

y' = y = -2

peta atau bayangan titik A(4, -4) adalah A'(2, -2)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; 0}{\; \; 0\; \; 1\; }\binom{x}{y}+\binom{2h}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; 0}{\; \; 0\; \; 1\; }\binom{4}{-2}+\binom{2.3}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{(-1).4+0.1(-2)}{0.4+1.(-2)}+\binom{6}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-4}{-2}+\binom{6}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{2}{-2}$

peta atau bayangan A'(4, -1) adalah A'(2, -2)

soal 18.
Tentukan peta dari titik C(−3,5) jika direfleksikan terhadap
garis $x$ =−4

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = 2h - $x$ = 2. (-4) - (-3) = -8 + 3 = -5

y, = y = 5

peta atau bayangan titik C (-3, 5) adalah C' (-5, 5)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; \; 0}{0\; \; \; 1}\binom{x}{y}+\binom{2h}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; \; 0}{0\; \; \; 1}\binom{-3}{5}+\binom{2.(-4)}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{(-1).(-3)+0.5}{0.(-3+1.5)}+\binom{-8}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{3}5+\binom{-8}{0}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{3-8}{5+0}$

$\binom{x}{y}=\binom{-5}{5}$

peta atau bayangan titik C (-3, 5) adalah C' (-5, 5)

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis $x$ =h

Jika y=f( $x$ ) dicerminkan terhadap garis $x$ =h maka peta dari kurva
tersebut adalah y=f(2h− $x$ ).

Contoh soal 19.
Tentukanlah bayangan kurva 3 $x$ −2y+5=0 jika direfleksikan
terhadap garis $x$ =4

Pembahasan :

Cara 1

$x$ = 2h - $x$

$x$ '= 2.4 - $x$ →=8 - $x$ '..................*

y' = y = y = y'............................**

3 $x$ - 2y + 5 = 0........................***

Masukan pers * dan ** ke pers ***

3(8 - $x$ ) - 2y' + 5 = 0

hilangkan (') !!!

24 - 3 $x$ - 2y' + 5 = 0

29 - 3 $x$ - 2y = 0

3 $x$ + 2y = 0

Cara 2

3 $x$ - 2y + 1 = 0

2y = 3 $x$ + 5

$y=f(x)=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}$

peta atau bayangan

y = f (2h - $x$ )

$y=\frac{3}{2}(2.4-x)+\frac{5}{2}$

2y = 3(8 - $x$ ) + 5

2y = 24 - 3 $x$ + 5

3 $x$ + 2y - 29 = 0

Soal 20.
Parabola y= $x$ ² − 2 direfleksikan terhadap garis $x$ =−2
petanya adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = 2h - $x$

$x$ ' = 2 . (-2) - $x$ → $x$ = -4 - $x$ ' ................*

y = y → y = y'.....................**

y = $x$ ² - 2.....................***

masukan pers * dan ** ke pers ***

y' - (-4 - $x$ ')² - 2

hilangkan tanda (')!!!

y = 16 + 8 $x$ + $x$ ² - 2

y = $x$ ² + 8 $x$ + 14

Cara 2

y = f ( $x$ ) = $x$ ² - 2

peta atau bayangan

y = f (2h - $x$ )

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y = k

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis y=k

Jika titik A( $x$ ,y) direfleksikan terhadap garis y=k, maka
bayangannya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′= $x$ dan y′=2k−y .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

soal 21.
Titik A(5,−3) dicerminkan terhadap garis y=2. Tentukan
bayangan titik tersebut !

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = $x$ = 5

y' = 2k - y = 2.2 - (-3) = 4 + 3 = 7

peta atau bayangan titik A (5, -3) adalah A' (5, 7)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{1\; \; \; 0}{0\; -1}\binom{x}{y}+\binom{0}{2k}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{1\; \; \; 0}{0\; -1}\binom{5}{-3}+\binom{0}{2.2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{5}{3}+\binom{0}{4}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{5}{7}$

peta atau bayangan titik A(5, -3) adalah A'(5, 7)

Soal 22
Titik A(−4,3) dicerminkan terhadap garis y=−2. Tentukan
bayangan titik tersebut !

Pembahasan:

$x$ ' = $x$ = -4

y' = 2k - y = 2. (-2) -3 = -4 -3 = -7

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{1\; \; \; 0}{0\; -1}\binom{x}{y}+\binom{0}{2k}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{1\; \; \; 0}{0\; -1}\binom{-4}{3}+\binom{0}{2.(-2)}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-4}{-3}+\binom{0}{4}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-4}{-7}$

peta atau bayangan titik A'(-4, 3) adalah A'(-4, -7)

B. pencerminan kurva terhadap garis y = k jika y = f( $x$ ) dicerminkan terhadap garis y = k maka peta dari kurva tersebut adalah, y = 2k - f( $x$ )

Soal 23
Tentukan bayangan kurva 4 $x$ −3y+1=0 jika dicerminkan
terhadap garis y=5 !

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = $x$ = → $x$ = $x$ '...................*

y' = 2k - y = 2.5 →y →y = 10 - y' ...........**

4 $x$ - 3y + 1 = 0 ................***

masukan pers *dan pers ** ke persa ***

4 $x$ ' - 3 (10 - y') + 1 = 0

hilangkan tanda (') !!!

4 $x$ - 30 + 3y + 1 = 0

4 $x$ + 3y - 29 = 0

Cara 2

4 $x$ - 3y + 1 = 0

4 $x$ + 1 = 3y

$y=f(x)=\frac{4}{3}x+\frac{1}{3}$

peta atau bayangan

y = 2k - f( $x$ )

$y=2.5-\left ( \frac{4}{3}x+\frac{1}{3} \right )$

$y=10-\left ( \frac{4}{3}x+\frac{1}{3} \right )$

3y = 30 - 4 $x$ - 1

4 $x$ + 3y - 29 = 0

Soal 24

Bayangan parabola y= $x$ ²−7 $x$ +124 jika dicerminkan terhadap
terhadap garis y=2 adalah . . . .

Pembahasan :

$x$ ' = $x$ → $x$ = $x$ = $x$ ...............*

y = 2k - y = 2.2 - y →y = 4 - y ................**

y = $x$ ² - 7 $x$ + 12 ...................***

masukan pers * dan pers ** ke pers ***

4 - y' = ( $x$ ')² - 7 $x$ + 12

Hilangkan tanda (') !!!

4 - y' = $x$ ² - 7 $x$ + 12

y = $x$ ² + 7 $x$ - 8

Cara 2

y = f( $x$ ) = $x$ ² - 7 $x$ + 12

peta atau bayangan

y = f( $x$ ) = $x$ ² - 7 $x$ + 12

y = 2.2 - ( $x$ ² - 7 $x$ + 12

y = 4 - $x$ ² + 7 $x$ ² - 12

y = - $x$ ² + 7 $x$ - 8

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y = $x$

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis y= $x$

Jika titik A( $x$ ,y) direfleksikan terhadap garis y= $x$ , maka
bayangannya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′=y dan y′= $x$ .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\; \; \; \; 1}{1\;\; \: \; 0}\binom{x}{y}$

Soal 25
Bayangan titik A(1,3) jika dicerminkan terhadap
garis y= $x$ adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = y = 3

y' = $x$ = 1

peta atau bayangan titik A(1, 3) adalah A' (3, 1)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\; 1}{1\; 0}\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\; 1}{1\; 0}\binom{1}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{3}{1}$

Soal 26
Tentukan bayangan dari titik A(−2,−3) setelah dicerminkan
terhadap garis y= $x$ !

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = y = -3

y' = $x$ = -2

peta atau bayangan titik A (-2, -3) adalah A' (-3, -2)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\;\; 1}{\; 1\; \; 0}\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\;\; 1}{\; 1\; \; 0}\binom{-2}{-3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-3}{-2}$

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis y= $x$

Jika y=f( $x$ ) dicerminkan terhadap garis y= $x$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $x$ =f(y).

Soal 27
Bayangan kurva 2 $x$ −y+3=0 jika dicerminkan terhadap
garis y= $x$ adalah . . . .
Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = y → y = $x$ '....................*

y' = $x$ → $x$ = y' .....................**

2 $x$ - y + 3 = 0 .....................***

masukan pers * dan ** ke pers ***

2y' - $x$ + 3 = 0

Cara 2

hilangkan tanda (') !!!

2y - $x$ + 3 = 0

Cara 2

2 $x$ - y + 3 = 0

y = f( $x$ ) = 2 $x$ + 3

peta dan bayangan

$x$ = f(y)

$x$ = 2y + 3

2y - $x$ + 3 = 0

Soal 28
Bayangan kurva y=3 $x$ ² − 4 $x$ + 7 akibat pencerminan
terhadap garis y= $x$ adalah .
Pembahasan :

$x$ ' = y → y = $x$ ' ............*

y' = $x$ → $x$ = ..............**

y = 3 $x$ ² - 4 $x$ + 7...........***

masukan pers * dan pers ** ke pers ***

$x$ ' = 3(y')² - 4y' + 7

Hilangkan tanda (') !!!

$x$ = 3y² - 4y + 7

Cara 2

y = f( $x$ ) = 3 $x$ ² - 4 $x$ + 7

peta atau bayangan

$x$ = f(y)

$x$ = 3y² - 4y + 7

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y= − $x$

A. Pencerminan Titik Terhadap Garis y=− $x$
Jika titik A( $x$ ,y) direfleksikan terhadap garis y=− $x$ , maka
bayangannya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′=−y dan y′=− $x$ .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\; -1}{-1\; \; \; 0}\binom{x}{y}$

Soal 29
Peta dari titik A(−1,2) jika direfleksikan terhadap garis y=− $x$
adalah . . . .

Pembahasan:

Cara 1

$x$ ' = -y = -2

y' = - $x$ = -(-1) = 1

peta atau byangan titik A(-1, 2) adalah A'(-2, 1)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\;\; \; \; -1}{-1 \; \; \: \; \;0}\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\;\; \; \; -1}{-1 \; \; \: \; \;0}\binom{-1}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1}{2}$

peta atau bayangan titik A(-1, 2) adalah A(-2, 1)

Soal 30
Bayangan titik A(−7,−4) setelah direfleksikan terhadap
garis y=− $x$ adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = -y = -(-4) = 4

y' = - $x$ = -(-7) = 7

peta atau bayangan A(-7, -4) adalah A'(4, 7)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\;\;-1}{-1\; \;\; 0}\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{0\;\;-1}{-1\; \;\; 0}\binom{-7}{-4}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{7}{4}$

peta atau bayangan titik A(-7, -4) adalah A'(4, 7)

B. Pencerminan Kurva Terhadap Garis y=− $x$

Jika y=f( $x$ ) dicerminkan terhadap garis y=− $x$ maka peta dari kurva
tersebut adalah $x$ =−f(−y).

Soal 31.
Bayangan dari kurva 5 $x$ −2y+7 setelah direfleksikan
terhadap garis y=− $x$ adalah . . . .

Pembahasan:

Cara 1

$x$ ' = -y →y = - $x$ '..............*

y' = - $x$ → $x$ = -y'.............**

5 $x$ - 2y + 7 = 0 ................***

masukan pers * dan ** ke pers ***

5(-y') - (- $x$ ') + 7 = 0

hilangkan tanda (') !!!

-5y + 2 $x$ + 7 = 0

2 $x$ - 5y + 7 = 0

2 $x$ -5y + 7 = 0

Cara 2

5 $x$ +2y + 7 = 0

5 $x$ + 7 = 2y

$y=f(x)=\frac{5}{2}x+\frac{7}{2}$

peta atau bayangan

$x$ = -f (-y)

$x=-\left ( \frac{5}{2} (-y)+\frac{7}{2}\right )$

$x=\frac{5}{2}y-\frac{7}{2}$

2 $x$ = 5y - 7

2 $x$ - 5y + 7 = 0

Soal 32
Peta dari kurva y= $x$ ²+2 $x$ setelah dicerminkan terhadap
garis y=− $x$ adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = -y → y = - $x$ '............*

y' = - $x$ → $x$ = -y'.............**

y = $x$ ² + 2 $x$ ....................***

masukan pers * dan ** ke pers ***

- $x$ ' = (-y')² + 2(-y')

Hilangkan (') !!

- $x$ = y² - 2y

$x$ = -y² + 2y

cara 2

y = f( $x$ ) = $x$ ² + 2 $x$

peta atau bayangan

$x$ = -f(-y)

$x$ = -((-y)² + 2(-y))

$x$ = -(y² - 2y)

$x$ = -y² + 2y

Rumus Pencerminan Terhadap Titik O(0, 0)
A. Pencerminan Titik Terhadap Titik O(0, 0)
Jika titik A( $x$ ,y) direfleksikan terhadap titik O(0, 0), maka
bayangannya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan x′=− $x$ dan y′=−y .
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\;\; \; \; 0}{0 \; \; -1}\binom{x}{y}$

Soal 33.
Tentukanlah bayangan dari titik A(−2,7) setelah dicerminkan
terhadap titik O(0, 0) !

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = - $x$ = -(-2) = 2

y' = -y = -7

peta atau bayangan titik A(-2, 7) adalah A'(2, -7)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\;\: 0}{0\: \; -1}\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\;\: 0}{0\: \; -1}\binom{-2}{7}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{2}{-7}$

Soal 34
Tentukan bayangan titik (3,5) setelah dicerminkan
terhadap titik O(0,0) !

Pembahasan :

Cara1

$x$ ' = - $x$ = -3

y' = -y = -5

peta atau bayangan A(3, 5) adalah A'(-3, -5)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; \: 0}{0\; \: -1}\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-1\; \: 0}{0\; \: -1}\binom{3}{5}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-3}{-5}$

peta atau bayangan titik A(3, 5) adalah A'(-3, -5)

B. Pencerminan Kurva Terhadap Titik O(0, 0)

Jika y=f( $x$ ) dicerminkan terhadap titik O(0, 0) maka peta dari kurva
tersebut adalah y=−f(− $x$ ).

Soal 35
Bayangan kurva 3 $x$ +y−6=0 apabila dicerminkan terhadap
titik O(0,0) adalah . . . .

Pembahasan:

Cara 1

$x$ ' = - $x$ → $x$ = - $x$ ................*

y' = -y →y = -y'.................**

3 $x$ + y - 6 = 0....................***

masukan pers * dan ** ke pres ***

3 ( $x$ ) + (-y) - 6 = 0

hilangkan tanda (') !!!!

-3 $x$ - y - 6 = 0

3 $x$ + y + 6 = 0

Cara 2

3 $x$ + y - 6 = 0

y = f( $x$ ) = -3 $x$ + 6

peta atau bayangan

y = -f( $x$ )

y = -(-3(- $x$ ) + 6)

y = - (3 $x$ + 6)

y = -3 $x$ - 6

3 $x$ + y + 6 = 0

Soal 36

Bayangan kurva y= $x$ ²−3 $x$ +1 setelah direfleksikan terhadap
titik O(0,0) adalah . . . .

Pembahasan:

Cara 1

$x$ ' = - $x$ → $x$ = - $x$ '..............*

y' = -y → y = -y'...............**

y = $x$ ² - 3 $x$ + 1.......................***

masukan pers * dan pers ** ke pers ***

-y' = (- $x$ ')² - 3(- $x$ ') + 1

hilangkan tanda (') !!

-y = $x$ ² + 3 $x$ + 1

y = - $x$ ² - 3 $x$ -1

Cara 2

y = f( $x$ ) = $x$ ² - 3 $x$ + 1

peta atau bayangan :

y = -f(- $x$ )

y = -(( $x$ )² - 3(- $x$ ) + 1

y = -( $x$ ² + 3 $x$ + 1)

y = $x$ ² - 3 $x$ - 1

Rumus Pencerminan Terhadap Garis y = m $x$ + c

Jika titik A( $x$ ,y) dicerminkan terhadap garis y = m $x$ +c, maka

bayangannya adalah titik A′( $x$ ′,y′), dimana:

$\: \binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+m^{2}}\left [ \binom{1-m^{2}\; \; \; \; \; 2m}{\: \: \: 2m\; \; \; m^{2}-1} \right ]\binom{x}{y}+\binom{-2\; cm}{2c}$

Soal 37
Bayangan dari titik A(3,2) akibat refleksi terhadap garis y=3 $x$ adalah . . . .

Pembahasan:

$\: \binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+m^{2}}\left [ \binom{1-m^{2}\; \; \; \; \; 2m}{\: \: \: 2m\; \; \; m^{2}-1} \right ]\binom{x}{y}+\binom{-2\; cm}{2c}$

m = 3 c = 0

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+3^{2}}\left [ \binom{1\; -3^{2}\: \; 2.3}{2.3\; \; 3^{2}\; -1} \binom{3}{2}\right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{10}\left [ \binom{-8\; \; 6}{6\; \; 8} \binom{3}{2}\right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{10}\binom{-12}{34}$

peta atau bayangan A (3, 2) adalah $A'\left ( -\frac{12}{10},\; \frac{34}{10} \right )$

Soal 38
Peta dari titik A(2,1) akibat refleksi terhadap
garis y=2 $x$ +3 adalah . . . .

Pembahasan :

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+m^{2}}\left [ \binom{1-m^{2}\; \; 2m}{2m\; \; m^{2}-1}\binom{x}{y}+\binom{-2cm}{2c} \right ]$

$\: \binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+m^{2}}\left [ \binom{1-m^{2}\; \; \; \; \; 2m}{\: \: \: 2m\; \; \; m^{2}-1} \right ]\binom{x}{y}+\binom{-2\; cm}{2c}$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+2^{2}}\left [ \binom{1\; -2.2}{2.2\; \; 2^{2}-1}\binom{2}{1}+\binom{-2.3.2}{2.3} \right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{5}\left [ \binom{-3\; \; 4}{4\; \; 3} \right ]\binom{2}{1}+\binom{-12}{6}$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{5}\left [ \binom{-2}{11} +\binom{-12}6{}\right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{5}\binom{-14}{17}$

Peta atau bayangan A(2, 1) adalah $A'\left (- \frac{14}{5},\frac{17}{15} \right )$

Soal 39
Bayangan kurva y=2²−1 setelah dicerminkan terhadap
garis y=+2 adalah . . . .
Pembahasan:

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{1+1^{2}}\left [ \binom{1\; -1^{2}\; \: 2.1}{2.1\; \; 1^{2}\; -1} \binom{x}{y}+\binom{-2.2.1}{2.2}\right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{2}\left [ \binom{0\; \; 2}{2\; \; 0} \binom{x}{y}+\binom{-4}{4}\right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{2}\left [ \binom{2 y}{2x}+\binom{-4}{4}\right ]$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{2}\binom{2y-4}{2x+4}$

$\binom{x'}{y'}=\frac{1}{2}\binom{y-2}{x+2}$

$x$ ' = y - 2 →y = $x$ ' + 2................*

y ' = $x$ ' + 2 → $x$ = y'- 2.............**

y' = 2 $x$ ² - 1................................***

masukan pers * dan pers ** ke Pers ***

$x$ ' + 2 = 2(y' -2 )² -1

hilangkan tanda (')!!

$x$ + 2 = 2(y - 2)² - 1

$x$ + 2 = 2(y² - 4y + 4) - 1

$x$ + 2 = 2y² - 8y + 7

$x$ = 2y² - 8y + 5

Transformasi Geometri Rotasi atau Perputaran

Rotasi atau perputaran merupakan transformasi isometri yang memindahkan semua titik pada bangun sepanjang busur lingkaran akibat perputaran dengan pusat tertentu. Rotasi disebut positif jika arah putarannya berlawanan arah jarum jam, dan negatif jika searah jarum jam. Rotasi pada umumnya terbagi atas dua bagian, yaitu rotasi dengan pusat O(0,0) dan rotasi dengan pusat P(a,b).

Rumus Rotasi Dengan Pusat Rotasi O(0, 0)

Jika titik A( $52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$ ,y) dirotasi dengan pusat rotasi di titik O(0, 0),
sejauh θ, maka petanya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan:
x′=x cos θ−y sin θ dan y′=x sin θ+y cos θ

Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks:

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

Soal 40
Tentukan matriks rotasi pada titik O(0,0) sejauh 60⁰ !

Pembahasan :

Matriks rotasi pusat O (0,0) sejauh 60⁰ adalah

$\binom{cos\theta \:-sin\theta }{sin\theta \; \: \; coc\theta }=\binom{cos60^{0}\; -sin60^{0}}{sin60^{0}\;\; \; cos60^{0}}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{\frac{1}{2}\; -\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}\sqrt{3}\: \; \; \; \frac{1}{2}}$

Soal 41

Tentukan peta dari titik P(−2,3) jika dirotasi dengan
pusat rotasi O(0,0) sejauh 30o !

Pembahasan :

$\binom{x'}{y'}=\binom{cos\theta \:-sin\theta }{sin\theta \; \: \; coc\theta }=\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{cos30\:-sin30}{sin30 \; \: \; coc30 }=\binom{-2}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{\frac{1}{2}\sqrt{3}\; -\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\: \; \; \; \frac{1}{2}\sqrt{3}}\binom{-2}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-\sqrt{3}-\frac{3}{2}}{-1+\frac{3}{2}\sqrt{3}}$

$Petanya \; adalah\; P'\left ( -\sqrt{3}-\frac{3}{2},\; -1+\frac{3}{2}\sqrt{3} \right )$

Soal 42
Peta dari kurva $x$ +y+2= 0 jika dirotasi sejauh 30⁰ dengan
pusat O(0,0) adalah . . . .
Pembahasan :

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

$\binom{x'}{y'}=\binom{cos30\; \; -sin30}{sin30\; \;\; cos30 }\binom{x}{y}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{\frac{1}{2}\sqrt{3}\; \; -\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\; \; \; \frac{1}{2}\sqrt{3}}\binom{x}{y}$

ingat jika B = A* maka A' B =*

$\frac{1}{\frac{3}{4}+\frac{1}{4}}\binom{\frac{1}{2}\sqrt{3}\: \; \; \frac{1}{2}}{-\frac{1}{2}\; \; \frac{1}{2}\sqrt{3}}\binom{x'}{y'}=\binom{x}{y}$

$x=\frac{1}{2}\sqrt{3x'}+\frac{1}{2}y'........*$

$x=-\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3y'}........**$

$x$ + y + 2 = 0..............***

masukan pers * dan ** ke pers ***

$\frac{1}{2}\sqrt{3x'}+\frac{1}{2}y'-\frac{1}{2}x'+\frac{1}{2}\sqrt{3}y'+2=0$

hilangkan tanda (') !!

$\frac{1}{2}\sqrt{3x}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}\sqrt{3}y+2=0$

$\left (\frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2} \right )x+\left ( \frac{1}{2} +\frac{1}{2}\sqrt{3}\right )y+2=0$

Rumus Rotasi Dengan Pusat Rotasi P(a,b)

Jika titik A( $x$ ,y) dirotasi atau diputar sejauh θ dengan
pusat rotasi titik P(a,b) maka petanya adalah A′( $x$ ′,y′)
yang dinyatakan dalam bentuk matriks:
( $x$ ′y′)=(cos θ−sin θsin θcos θ)( $x$ −ay−b)+(ab)

Soal 43.
Tentukanlah peta dari titik A(4,2) akibat rotasi
dengan pusat rotasi P(1,3) sejauh 45⁰ !

Pembahasan :

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

$\binom{x'}{y'}=\binom{cos^{0}45 \; \; -sin45^{0} }{sin45^{0}\; \; cos45^{0} }\binom{4\; -1}{2\; -3}+\binom{1}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{\frac{1}{2}\sqrt{2}\; \; -\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}\sqrt{2}\; \; \frac{1}{2}\sqrt{2}}\binom{3}{-1}+\binom{1}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}+\binom{1}{3}$

$petanya\; adalah\; \; A'\left ( 2\sqrt{2}+1,\; \; \sqrt{2}+3 \right )$

Transformasi Geometri Dilatasi atau Perkalian

Dilatasi atau perkalian merupakan transformasi yang memperbesar atau memperkecil suatu bangun. Dalam dilatasi kita mengenal faktor dilatasi, yaitu suatu bilangan yang dikalikan terhadap yang didilatasi. Faktor dilatasi dinotasikan dengan sebuah huruf kecil yang umumnya menggunakan huruf k. Jika faktor dilatasi k>1 atau k<−1 maka bangun hasil dilatasi lebih besar dari bangun yang didilatasi, sedangkan jika −1<k<1 maka bangun hasil dilatasi lebih kecil dari bangun yang didilatasi. Jika k=1, maka bangun yang didilatasi tidak mengalami perubahan. Suatu dilatasi dari titik P dengan faktor skala k dapat dinyatakan dengan [P,k]. P disebut pusat dilatasi dan k disebut faktor dilatasi. Secara umum dilatasi terbagi atas dua bagian, yaitu dilatasi dengan pusat O(0,0) dengan faktor skala k dan dilatasi dengan pusat P(a,b) dengan faktor skala k.

Rumus Dilatasi Dari Pusat O(0, 0) Dengan Faktor Skala k

A. Dilatasi Titik dari Pusat O(0,0) Dengan Faktor Skala k
Jika titik A( $x$ ,y) didilatasi dengan pusat dilatasi O(0,0) dan
faktor skala k, maka petanya adalah A′( $x$ ′,y′) dengan $x$ ′=k $x$ dan y′=ky
Hubungan ini bisa dinyatakan dalam bentuk matriks: ( $x$ ′y′)=(k00k)( $x$ y)

Soal 44.
Jika titik A(5,2) didilatasi dari titik O(0,0) dengan
faktor skala 4 maka hasilnya adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$x$ ' = k $x$ = 4.5 = 20

y' = k y = 4.2 = 8

Hasilnya adalah A' (20, 8)

Cara 2

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

$\binom{x'}{y'}=\binom{20}{8}$

Hasilnya adalah A' (20, 8)

Soal 45.
Jika titik P(−12,8) didilatasi oleh $(0,-\frac{1}{2})$ dengan O(0,0) maka petanya adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$x'=kx=-\frac{1}{2}.(-12)=6$

$y'=ky=-\frac{1}{2}.8=-4$

petanya adalah P' (6, 4)

Cara 2

$\binom{x'}{y'}=\binom{k\; \; o}{0\; \; k}\binom{x}{y}$

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

$\binom{x'}{y'}=\binom{6}{-4}$

petanya adalah P' (6, -4)

B. Dilatasi kurva dari Pusat O(0,0) Dengan Faktor Skala k

Jika y=f( $x$ ) didilatasikan dari Pusat O(0,0) dengan faktor
skala k, maka petanya adalah y=kf(1k $x$ )

Soal 46
Jika parabola y=3 $x$ ²+1 didilatasi oleh [O,2] maka
petanya adalah . . . .

Pembahasan :

Cara 1

$52 Contoh Soal dan Pembahasan Transformasi Geometri$

$y'= kx =2y\to y=\frac{1}{2}y'.........**$

y = 3 $x$ ² + 1 .......................***

masukan pers * dan pers ** ke pers ***

$\frac{1}{2}y=3\left ( \frac{1}{2} x\right )^{2}+1$

Hilangkan tanda (') !!!

$\frac{1}{2}y=\frac{3}{4}x^{2}+1$

$y=\frac{3}{2}x^{2}+2$

Cara 2

y = f( $x$ ) = 3 $x$ ² + 1

petanya adalah

$y=f(\frac{1}{k}x)$

$y=2f(\frac{1}{2}x)$

$y=2\left ( 3(\frac{1}{2}x)^{2}+1 \right )$

$y=2\left ( \frac{3}{4}x^{2} +1\right )$

$y=\frac{3}{2}x^{2}+2$

Soal 47
Jika lingkaran $x$ ²+y²−4 $x$ −6y−3=0 didilatasi oleh
[O,2] maka petanya adalah lingkaran yang berjari-jari . . . .

Pembahasan :

$x'=2x\to x=\frac{1}{2}x'........*$

$y'=2y\to y=\frac{1}{2}y'..........**$

$x^{2}+y^{2}-4x-6y-3=0........***$

$\left (\frac{1}{2}x' \right )^{2}+\left ( \frac{1}{2}y' \right )^{2}-4\left ( \frac{1}{2}x^{2} \right )-6\left ( \frac{1}{2} y'\right )-3=0$

Hilangkan tanda (') !!

$\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{4}y^{2}-2x-3y-3=0$

$x$ ² + y² - 8 $x$ - 12y - 12 = 0

jari-jari lingkaran

$R^{2}=\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C$

$=\frac{1}{4}.8^{2}+\frac{1}{4}.12^{2}-(-12)$

= 16 + 36 + 12

= 64

$R=\sqrt{64}=8$

jari-jari setelah dilatasi = 8

Rumus Dilatasi Dari Pusat P(a, b) Dengan Faktor Skala k

Dilatasi dari pusat P(a,b) dengan faktor skala k dinotasikan
dengan [P(a,b),k]. Jika titik A( $x$ ,y) didilatasikan dari
titik P(a,b) dengan faktor skala k, maka bayangannya adalah
titik A′( $x$ ′,y′) yang dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

$\binom{x'}{y'}=\binom{K\; 0}{0\; K}\binom{x\; -a}{y\; \; -b}+\binom{a}{b}$

Soal 48
Jika titik A(−2,5) didilatasi oleh [P(2,1), $-\frac{1}{2}$ ]
maka petanya adalah . . . .
Pembahasan :

$\binom{x'}{y'}=\binom{K\; \; \; 0}{0\; \; \; K}\binom{x\; -a}{y\; -b}+\binom{a}{b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-\frac{1}{2}\; \; \; 0}{0\; \; \; -\frac{1}{2}}\binom{-2\; -2}{5\; -1}+\binom{2}{1}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{-\frac{1}{2}\; \; \; 0}{0\; \; \; -\frac{1}{2}}\binom{-4}{4}+\binom{2}{1}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{2}{-2}+\binom{2}{1}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{4}{-1}$

Soal 49
Jika titik K(6,−3) didilatasi dari titik M(4,2)
dengan faktor skala 5, maka petanya adalah . . . .

Pembahasan :

$\binom{x'}{y'}=\binom{K\; \; 0}{0\; \; K}\binom{x\; -a}{y\; \; -b}+\binom{a}{b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{5\; \; 0}{0\; \; 5}\binom{6\; -4}{-3\; \; -2}+\binom{4}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{5\; \; 0}{0\; \; 5}\binom{2}{-5}+\binom{4}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{10}{-25}+\binom{4}{2}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{14}{-23}$

petanya adalah K' (14, -23)

Soal 50
Tentukan peta dari kurva 3 $x$ −2y+4=0 jika didilatasi
dengan pusat dilatasi P(2,3) dan faktor skala 4 !

Pembahasan :

$\binom{x'}{y'}=\binom{K\; \; 0}{0\; \; K}\binom{x\; -a}{y\; \; -b}+\binom{a}{b}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{4\; \; 0}{0\; \; 4}\binom{x\; -2}{y\; \; -3}+\binom{2}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{4x\; \; -8}{4y\; \; -12}+\binom{2}{3}$

$\binom{x'}{y'}=\binom{4x\; \; -6}{4y\; \; -9}$

$x$ ' = 4 $x$ - 6

4 $x$ = $x$ ' + 6

$x=\frac{1}{4}x'+\frac{3}{2}.........*$

y' = 4y - 9

4y = y' + 9

$y=\frac{1}{4}y'+\frac{9}{4}..............**$

3 $x$ - 2y + 4 = 0....................***

masukan pers * dan **ke pers ***

$3.\left ( \frac{1}{4}x'+\frac{3}{2} \right )-2.\left ( \frac{1}{4}y' +\frac{9}{4}\right )+4=0$

Hilangkan tanda (') !!

$\frac{3}{4}x+\frac{9}{2}-\frac{1}{2}y-\frac{9}{2}+4=0$

$\frac{3}{4}x-\frac{1}{2}y+4=0$

3 $x$ - 2y + 16 = 0

Rumus dan Contoh Soal Komposisi Transformasi

Misalkan T₁ adalah transformasi yang memetakan titik A( $x$ ,y) ke titik A′( $x$ ′,y′) kemudian dilanjutkan oleh transformasi T₂ yang memetakan titik A′( $x$ ′,y′) ke titik A′′( $x$ ′′,y′′). Transformasi T₁ dilanjutkan dengan transformasi T₂ tersebut akan memetakan titik A( $x$ ,y) ke titik A′′( $x$ ′′,y′′). Transformasi seperti ini dapat dituliskan dengan notasi:
T₂ o T₁ A( $x$ ,y)→ A′′( $x$ ′′,y′′)

Soal 51
Tentukan bayangan titik A(1,2) akibat refleksi terhadap
garis y= $x$ dan dilanjutkan dengan refleksi terhadap
garis y=− $x$ .

Pembahasan :

Cara 1

A(1, 2)

$x$ ' = y = 2

y' = $x$ = 1

A' ( $x$ ', y') = A' (2, 1)

$x$ '' = -y' = -1

y'' = - $x$ ' = -2

A" ( $x$ ", y") = A" (-1, -2)

Cara 2

menggunakan matriks transformasi