25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10

1. Pengertian Vektor

Soal dan Pembahasan Vektor Matematika SMA kelas 10. Sebelum kita masuk ke Soal dan Pembahasan vektor, kita akan melakukan review singkat tentang vektor matematika SMA kelas 10. Besaran vektor adalah suatu besaran yang mempunyai besar dan arah, seperti kecepatan, percepatan, gaya, berat dan lain-lain.
Besaran skalar adalah suatu besaran yang hanya mempunyai besar saja, seperti panjang, lebar, massa, volume, dan lain-lain. Vektor yang akan dibahas di sini adalah vektor pada bidang yang dinotasikan dengan $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}$ dan vektor pada ruang yang dinotasikan dengan $25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

1.1. Geometri Vektor
Secara geometris vektor dilukiskan sebagai anak panah dengan titik pangkal A(a₁, a₂, a₃) dan titik ujung B(b₁, b₂, b₃).
Lihat gambar!

25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10

1.2. Notasi Vektor
Untuk menuliskan vektor kita dapat menggunakan salah satu notasi seperti: $a,\; \overrightarrow{a},\; \overline{A},\; \overrightarrow{A},\; \overline{AB},\; dan\; \overrightarrow{AB}$

1.3. Bentuk Vektor
Vektor dapat dinyatakan dalam bentuk vektor baris, vektor basis,
dan vektor kolom.
a. Vektor baris: $\bar{a}=(a_{1},\; a_{2},\; a_{3})$

b. Vektor basis: $25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

1.4. Vektor Dengan Pangkal A dan Ujung B
Vektor dengan titik pangkal A(a1, a2, a3) dan titik ujung B(b₁, b₂, b₃) dinotasikan dengan $\overline{AB}$ , dengan

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

2. Jenis-jenis Vektor

2.1. Vektor Nol
Sebuah vektor yang titik pangkal dan titik ujungnya berimpit (sama) disebut vektor nol, yang dinotasikan dengan $\overrightarrow{0}$

. Vektor nol memiliki panjang nol dengan arah tak tentu. Contoh: $\overrightarrow{AA}$ , $\overrightarrow{BB}$ , dan lain-lain.

2.2. Vektor Satuan
Vektor satuan adalah vektor yang panjangnya satu satuan, ditulis $\hat{a}$ yang didefinisikan dengan: $\hat{a}=\frac{\overline{a}}{|\overline{a}|}$

3. Operasi Pada Vektor

3.1. Penjumlahan Dua Vektor
A. Secara geometris.
1. Dengan metode segitiga.
Letakkan pangkal dari salah satu vektor ke ujung dari vektor yang lain, kemudian hubungkan pangkal dari vektor pertama dengan ujung dari vektor kedua.
Perhatikan gambar!

2. Dengan metode jajargenjang.
Resultan $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ adalah diagonal dari jajargenjang yang dibentuk oleh $\overline{a}$ dan $\overline{b}$ .
Perhatikan gambar!

Penjumlahan dua vektor memiliki sifat-sifat yaitu:
(i). Sifat komutatif (pertukaran):
    $\overline{a}$ + $\overline{b}$ = $\overline{b}$ + $\overline{a}$
(ii). Sifat assosiatif (pengelompokan):
    ( $\overline{a}$ + $\overline{b}$ )+ $\overline{c}$ = $\overline{a}$ +( $\overline{b}$ + $\overline{c}$ )
(iii). Unsur identitas yaitu $\overline{0}$ =(0,0,0)
    $\overline{a}$ + $\overline{0}$ = $\overline{a}$
(iv). Invers tambah atau invers aditif.
     invers tambah dari vektor $\overline{a}$ adalah − $\overline{a}$
     $\overline{a}$ + (− $\overline{a}$ ) = $\overline{0}$
B. Secara analitis

Jika $\overline{a}$ =(a₁, a₂, a₃) dan $\overline{b}$ =(b₁, b₂, b₃), maka
(i). $\overline{a}$ + $\overline{b}$ =(a₁+b₁,a₂+b₂,a₃+b₃)

$(ii).\; |\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|^{2}=|\overrightarrow{a}|^{2}+|\overrightarrow{b}|^{2}+2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos\theta$

3.2. Pengurangan Dua Vektor

A. Secara geometris.
1. Dengan metode segitiga.
Arah vektor yang dikurangkan dibalik dan pangkalnya diletakkan pada ujung vektor yang lain.
Perhatikan gambar!

2. Dengan metode jajargenjang.

B. Secara analitis.
Jika $\overline{a}$ =(a₁, a₂, a₃) dan $\overline{b}$ =(b₁, b₂, b₃), maka:
(i). $\overline{a}$ − $\overline{b}$ =(a1−b1,a2−b2,a3−b3)
(ii). | $\overrightarrow{a}$ − $\overrightarrow{b}$ |²=| $\overrightarrow{a}$ |²+| $\overrightarrow{b}$ |²−2| $\overrightarrow{a}$ || $\overrightarrow{b}$ |cosθ

3.3. Perkalian Dua Vektor
A. Perkalian skalar

$Misalkan\; vektor\; \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\a_{3}\end{pmatrix}\; dan \; k\; merupakan \; bilangan\; real$

$Maka \; k\; \overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}a_{1} \\a_{2} \\a_{3}\end{pmatrix}$

B. Perkalian titik atau dot
Jika vektor $\overrightarrow{a}$ = (a₁, a₂, a₃) dan vektor $\overrightarrow{b}$ =(b₁, b₂, b₃), maka:
⇒ $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ =(a₁.b₁+a₂.b₂+a₃.b₃)
⇒ $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ =| $\overrightarrow{a}$ |.| $\overrightarrow{b}$ |cosθ
dimana θ adalah sudut antara vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$

Lihat gambar!

Sifat-sifat perkalian skalar dua vektor
1. Sifat komutatif: $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{b}$ . $\overrightarrow{a}$
2. m( $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ =(m $\overrightarrow{a}$ ). $\overrightarrow{b}$ = $\overrightarrow{a}$ .(m $\overrightarrow{b}$ )
3. Sifat distributif:
(I). $\overrightarrow{a}$ ( $\overrightarrow{b}$ +→c)= $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{c}$

(II). ( $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ ) $\overrightarrow{c}$ = $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{c}$ + $\overrightarrow{b}$ $\overrightarrow{c}$

4. $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{a}$ =| $\overrightarrow{a}$ |²

C. Perkalian silang
Jika vektor $\overrightarrow{a}$ =(a₁, a₂, a₃) dan vektor $\overrightarrow{b}$ =(b₁, b₂, b₃), maka:
perkalian silang ditulis $\overrightarrow{a}$ x $\overrightarrow{b}$ dirumuskan:

$\overrightarrow{a}\times \overrightarrow{b}=\begin{vmatrix} \; \; \; \hat{i}\; \; \; \hat{j}\; \; \; \hat{k}& & \\\; \; \; a_{1}\; a_{2}\; a_{3}& & \\\; \; \; b_{1}\; b_{2}\; b_{3}\end{vmatrix}$

$=(a_{2}\; b_{3}-a_{3}\; b_{2})\hat{i}+(a_{3}\; b_{1}-a_{1}\; b_{3})\hat{j}+(a_{1\; b_{2}}-b_{2}\; a_{1})\hat{k}$

3.4. Perbandingan Koordinat dan Perbandingan Vektor
Lihat gambar!

$x=\frac{mx_{2}+nx_{1}}{m+n}$

$y=\frac{my_{2}+ny_{1}}{m+y}$

$z=\frac{mz_{2}+nz_{1}}{m+y}$

$\overrightarrow{c}=\frac{n\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}}{m+n}$

3.5. Proyeksi Orthogonal Vektor $\overrightarrow{a}$ pada Vektor $\overrightarrow{b}$

Misalkan vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ adalah vektor-vektor sembarang pada bidang atau pada ruang, dan vektor $\overrightarrow{c}$ adalah proyeksi vektor $\overrightarrow{a}$ pada vektor $\overrightarrow{b}$ .

A. Proyeksi skalar orthogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ , adalah $\overrightarrow{c}$ yang ditentukan oleh:

$|\overrightarrow{c} |=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b} |}$

B. Proyeksi vektor orthogonal dari vektor $\overrightarrow{a}$ pada arah vektor $\overrightarrow{b}$ , adalah $\overrightarrow{c}$ yang ditentukan oleh:

$|\overrightarrow{c} |=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{b} |^{2}}\overrightarrow{b}$

3.6. Rumus Panjang Vektor

Besar dan panjang vektor ditulis sebagai | $\overrightarrow{a}$ | atau | $\overrightarrow{a}$ |, sedangkan panjang vektor $\overrightarrow{AB}$ ditulis sebagai

$| \overrightarrow{AB}|$ atau $| \overline{AB}|$ . Misalkan $\overline{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})$ maka panjang vektor $\overline{a}$ didefinisikan sebagai:

$|\overline{a}|=\sqrt{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}$

3.7. Kesamaan Dua Vektor

Dua vektor disebut sama jika panjang dan arah vektor sama. Vektor tidak tergantung pada letaknya, tetapi tergantung pada panjang dan arahnya.
Misalkan vektor $\overrightarrow{a}$ =(a₁, a₂, a₃) dan vektor $\overrightarrow{b}$ =(b₁, b₂, b₃).
$\overrightarrow{a}$ = $\overrightarrow{b}$ jika a₁=b₁,a₂=b₂,a₃=b₃

4. Pengertian Vektor posisi
Vektor posisi adalah vektor yang berpangkal di titik asal O(0, 0). Vektor posisi dari titik A, B, C, dan D sering ditulis $\overline{a}$ , $\overline{b}$ , $\overline{c}$ , $\overline{d}$ dan seterusnya.

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

5. Pengertian Vektor Koliner

Tiga buah titik A, B, dan C segaris (koliner) jika dan hanya jika $\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{BC}$ dengan k bilangan real tidak nol.

6. Contoh Soal Vektor Matematika dan Pembahasan

1. Bentuk sederhana dari 3 $\overrightarrow{a}$ −(2 $\overrightarrow{b}$ +5 $\overrightarrow{c}$ )−(2 $\overrightarrow{a}$ − $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$ ) adalah . . . .
A. $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ +6 $\overrightarrow{c}$
B. $\overrightarrow{a}$ − $\overrightarrow{b}$ −6 $\overrightarrow{c}$
C. 6 $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ − $\overrightarrow{c}$
D. $\overrightarrow{a}$ −6 $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$
E. $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ + $\overrightarrow{c}$

Pembahasan:

$3\overrightarrow{a}-(2\overrightarrow{b}+5\overrightarrow{c})-(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$

$=3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{a}-5\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$

$=\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}-6\overrightarrow{c}$

Jawaban: C

2. Diketahui persegi panjang OACB dan D titik tengah OA, CD memotong diagonal AB di P. Jika

$\overrightarrow{OA}$ = $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{OB}$ = $\overrightarrow{b}$ , maka $\overrightarrow{OP}$ dapat dinyatakan sebagai . . . .

A. $\frac{1}{2}$ (. $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ )
B. $\frac{1}{3}$ (. $\overrightarrow{a}$ + $25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$ )
C. $\frac{2}{3}$ . $\overrightarrow{a}$ + $\frac{1}{3}$ $\overrightarrow{b}$
D. $\frac{1}{3}$ . $\overrightarrow{a}$ + $\frac{2}{3}$ $\overrightarrow{b}$
E. $\frac{1}{2}$ . $\overrightarrow{a}$ + $\frac{2}{3}$ $\overrightarrow{b}$

Pembahasan :

Segitiga ADP sebagun dengan segitiga BCP

$\frac{AD}{BC}=\frac{AP}{BP}$

$\frac{1}{2}=\frac{AP}{BP}$

AP : BP = 1 : 2

Lihat segitiga OAB dan ingat perbandingan ruas garis dan vektor

$\overrightarrow{OP}=\frac{2\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2+1}$

$\overrightarrow{OP}=\frac{2\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{3}$

$\overrightarrow{OP}=\frac{2}{3}.\overrightarrow{a}+\frac{1}{3}\overrightarrow{b}$

Jawaban: C

3. Jika $\overrightarrow{OA}$ = (1,2), $\overrightarrow{OB}$ = (4,2) dan θ=∠( $\overrightarrow{OA}$ , $\overrightarrow{OB}$ ), maka tan θ = . . . .

$A.\; \frac{3}{5}$

$B.\; \frac{3}{4}$

$C.\; \frac{9}{16}$

$D.\; \frac{4}{3}$

$E.\; \frac{16}{9}$

Pembahasan:

$\overrightarrow{OA}\; .\; \overrightarrow{OB}=\left| \overrightarrow{OA}\right|.\left| \overrightarrow{OB}\right|.cos\theta$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$4+4=\sqrt{5}.\sqrt{20}.cos\theta$

$8=\sqrt{100}.cos\theta$

$8=10.cos\theta$

$cos\theta =\frac{4}{5}$

Perhatikan gambar siku-siku dibawah ini

4. Jika $\overrightarrow{a}$ =(2,k) dan $\overrightarrow{b}$ =(3,5) dan ∠( $\overrightarrow{a}$ , $\overrightarrow{b}$ )= $\frac{\pi }{4}$ maka konstanta possitif k adalah . . . .

$A.\; \frac{1}{4}$

$B.\; \frac{1}{2}$

C. 2
D. 4
E. 8

Pembahasan:

Ingat Perkalian vektor

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}= \left| \overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$6+5k=\sqrt{4+k^{2}}.\sqrt{34}\; .\frac{1}{2}\sqrt{2}$

$(6+5k)^{2}=(k^{2}+4).34.\frac{1}{2}$

$25k^{2}+60k+36=17k^{2}+68$

$8k^{2}+60k-32=0$

$2k^{2}+15k-8=0$

$(k+8)(2k-1)=0$

$k=-8\; atau\; k=\frac{1}{2}$

Jawaban: B

5. Pada segiempat sembarang ABCD, S dan T masing-masing adalah titik tengah AC dan BD. Jika

$\overrightarrow{u}$ = $\overrightarrow{ST}$ , maka $\overrightarrow{AB}$ + $\overrightarrow{AD}$ + $\overrightarrow{CB}$ + $\overrightarrow{CD}$ dapat dinyatakan dalam $\overrightarrow{u}$ sebagai . . . .

$A.\; \frac{1}{4}\overrightarrow{u}$

$B.\; \frac{1}{2}\overrightarrow{u}$

$C.\;\overrightarrow{u}$

$D.\;2\overrightarrow{u}$

$E.\;4\overrightarrow{u}$

Pembahasan:

Ingat rumus perbandingan ruas garis dan vektor lihat Δ ABC dan Δ BCD, karena BT = DT, maka:

$\overrightarrow{CT}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})$

$\overrightarrow{AT}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD})$

$\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{CT}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})......(1)$

ingat penjumlahan vektor dengan metode segitiga

$\overrightarrow{AT}=\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{ST}$

$\overrightarrow{CT}=\overrightarrow{CS}+\overrightarrow{ST}$

$\overrightarrow{AS}$ dan $\overrightarrow{CS}$ adalah dua vektor yang sama dan berlawanan arah

$\overrightarrow{AS}+\overrightarrow{CS}=0$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$\overrightarrow{AT}+\overrightarrow{CT}=2\overrightarrow{ST}.......(2)$

dari persamaan (1) dan (2)

$2\overrightarrow{ST}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD})$

$4\; \overrightarrow{ST}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CD$

Jawaban: E

6. Jika $\overrightarrow{p}$ , $\overrightarrow{q}$ , dan $\overrightarrow{s}$ berturut-turut adalah vektor posisi titik-titik sudut jajaran genjang PQRS dengan PQ sejajar SR, maka $\overrightarrow{s}$ = . . . .
A. − $\overrightarrow{p}$ + $\overrightarrow{q}$ + $\overrightarrow{r}$

B. − $\overrightarrow{p}$ − $\overrightarrow{q}$ + $\overrightarrow{r}$

C. $\overrightarrow{p}$ − $\overrightarrow{q}$ + $\overrightarrow{r}$

D. $\overrightarrow{p}$ − $\overrightarrow{q}$ − $\overrightarrow{r}$

E. $\overrightarrow{p}$ + $\overrightarrow{q}$ + $\overrightarrow{r}$

Pembahasan:

Perhatikan gambar dibawah ini

PQ sejajar SR dan sama panjang berarti $\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}$ lihat Δ OSR dan perhatikan vektor posisi dari titik S dan titik R

$\overrightarrow{SR}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{s}$

$\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{s}$

$\overrightarrow{s}=\overrightarrow{p}-\overrightarrow{q}+\overrightarrow{r}$

Jawaban: C

7. Diberikan titik-titik A(1,3), B(2,5), C(−1,2). Ruas garis berarah $\overrightarrow{AB}$ dan $\overrightarrow{BC}$

berturut-turut mewakili vektor $\overrightarrow{u}$ dan vektor $\overrightarrow{v}$ . Maka nilai dari ( $\overrightarrow{u}$ + $\overrightarrow{v}$ ). $\overrightarrow{u}$ = . . . .
A. −9
B. −4
C. 1
D. 4
E. 9

Pembahasan:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

$\binom{2}{5}-\binom{1}{3}$

$=\frac{1}{2}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{v}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

$=\binom{-1}{2}-\binom{2}{5}$

$=\binom{-3}{-3}$

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{u}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

$=\binom{1}{2}.\binom{1}{2}+\binom{-3}{-3}.\binom{1}{2}$

= 5 - 9

= -4

NB:

$\overrightarrow{a}$ adalah vektor posisi titik A

$\overrightarrow{b}$ adalah vektor posisi titik B

$\overrightarrow{c}$ adalah vektor posisi titik C

Jawaban: B

8. Jika vektor $\overrightarrow{a}=\binom{2}{3}$ , vektor $\overrightarrow{b}=\binom{3}{9}$ dan $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ . Vektor satuan dari vektor $\overrightarrow{c}$ adalah . . . .

$A.\; \frac{1}{13}\binom{5}{13}$

$B.\; \frac{1}{13}\binom{5}{12}$

$C.\; \frac{1}{5}\binom{12}{13}$

$D.\; \frac{1}{12}\binom{5}{13}$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

Pembahasan:

$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$

$=\binom{2}{3}+\binom{3}{9}$

$=\binom{5}{12}$

$\left|\overrightarrow{c} \right|^{2}=5^{2}+12^{2}$

$\left|\overrightarrow{c} \right|^{2}=169$

$\left|\overrightarrow{c} \right|=13$

$\hat{c}=\frac{\overrightarrow{c}}{\left| \overrightarrow{c}\right|}$

$=\frac{1}{13}\binom{5}{12}$

Jawaban: B

9. Diketahui titik P(1,7) dan titik Q(4,1). Titik R adalah titik pada garis hubung PQ sehingga

$\overrightarrow{PR}=\frac{1}{3}PQ$ . Maka koordinat titik R adalah . . . .

A. (2,5)
B. (5,2)
C. (3,4)
D. (2,3)
E. (3,2)

Pembahasan:

$\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{q}-\overrightarrow{p}$

$=\binom{4}{1}-\binom{1}{7}$

$=\binom{3}{-6}$

$\overrightarrow{PR}=\frac{1}{3}\overrightarrow{PQ}$

$=\frac{1}{3}\binom{3}{-6}$

$=\binom{1}{-2}$

Misalkan koordinat dari titik R adalah (x, y) sehingga $\overrightarrow{r}=\binom{x}{y}$

$\overrightarrow{PR}=\overrightarrow{r}-\overrightarrow{p}$

$\binom{1}{-2}=\binom{x}{y}-\binom{1}{7}$

didapat dua persamaan

pertama

$1=x-1$

$x=2$

kedua

-2 = y - 7

y = 5

jadi koordinat titik R adalah (2, 5)

Note:

$\overrightarrow{p}$ adalah vektor dari titik P

$\overrightarrow{q}$ adalah vektor dari titik Q

$\overrightarrow{r}$ adalah vektor dari titikR

Jawaban: A

10. Diketahui vektor $\overrightarrow{a}=\binom{3}{-2}$ , vektor $\overrightarrow{b}=\binom{4}{1}$ , dan vektor $\overrightarrow{c}=\binom{-2}{-1}$ . Jika $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}=\binom{0}{-4}$ , dengan k bilangan real, maka nilai k adalah . . . .
A. −5
B. −3
C. −1
D. 1
E. 3

Pembahasan:

$2\binom{3}{-2}-3\binom{4}{1}+k\binom{-2}{-1}=\binom{0}{-4}$

$\binom{6}{-4}-\binom{12}{3}+\binom{-2k}{-k}=\binom{0}{-4}$

$\binom{-6\; \; \; -2k}{-7\; \; \; -k}=\binom{0}{-4}$

didapat persamaan

-6 - 2k = 0

k = -3

Jawaban: B

11. Diberikan vektor-vektor $\overrightarrow{a}=x\hat{i}-3x\hat{j}+6y\hat{k},\overrightarrow{b}=(1-y)\hat{i}+3\hat{j}-(1+x)\hat{k}$ dengan $x$ > 0. Jika $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ sejajar, maka $\overrightarrow{a}$ +3 $\overrightarrow{b}$ = . . . .

A. $\overrightarrow{0}$

B. −7 $\hat{i}$ +21 $\hat{j}$ +21 $\hat{k}$

C. $\hat{i}$ −3 $\hat{j}$ −3 $\hat{k}$

D. 2 $\hat{i}$ +3^j−3 $\hat{k}$

E. −6 $\hat{i}$ −24 $\hat{k}$

Pembahasan:

Karena $\overrightarrow{a}$ sejajar $\overrightarrow{b}$ maka

$\frac{x}{1-y}=\frac{-3x}{3}=\frac{6y}{-(1+x)}$

$\frac{x}{1-y}=-x=\frac{6y}{-(1+x)}$

pertama

$\frac{x}{1-y}=-x$

1 = y -1

y = 2

kedua

$-x=\frac{6y}{-(1+x)}$

$x(1+x)=6y$

$x+x^{2}=6.2$

$x^{2}+x-12=0$

$(x+4)(x-3)=0$

$x=-4\; atau\; x=3$

karena $x$ > 0 maka $x$ = 3 vektor-vektornya adalah:

$\overrightarrow{a}=3\hat{i}-9\hat{j}+12\hat{k}$

$\overrightarrow{b}=-\hat{i}+3\hat{j}+-4\hat{k}$

$\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}=\overrightarrow{0}$

Jawaban: A

12. Jika vektor $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}1 \\2 \\3\end{pmatrix}$ , vektor $\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}1 \\0 \\2\end{pmatrix}$ , dan vektor $\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix}4 \\2 \\1\end{pmatrix}$

$dengan\; 2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix}-3 \\0 \\10\end{pmatrix}dengan\; k\; bilangan\; real.\; Maka\; nilai\; k=...$

A. −1
B. −2
C. −3
D. 3
E. 2

Pembahasan:

$2\overrightarrow{a}+3\overrightarrow{b}+k\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix} -3 \\0 \\10\end{pmatrix}$

$2\begin{pmatrix} 1 \\2 \\3\end{pmatrix}+3\begin{pmatrix}1 \\0 \\2\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 4 \\2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\0 \\10\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 2 \\4 \\6\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}3 \\0 \\6\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix} 4 \\2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\0 \\10\end{pmatrix}$

$k\begin{pmatrix} 4 \\2 \\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -8 \\-4 \\-2\end{pmatrix}$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

k = -2

Jawaban C

13. Jika vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ membentuk sudut 60⁰, | $\overrightarrow{a}$ |=4 dan | $\overrightarrow{b}$ |=3, maka $\overrightarrow{a}$ .( $\overrightarrow{a}$ − $\overrightarrow{b}$ ) = . . . .
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
E. 10

Pembahasan:

$\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})=\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a}-\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$

$=\left|\overrightarrow{a} \right|^{2}-\left| \overrightarrow{a}\right|.\left| \overrightarrow{b}\right|cos\theta$

$=4^{2}-4.3.cos\; 60^{\circ}$

$=4^{2}-4.3.\frac{1}{2}$

= 16 - 6

= 10

Jawaban E

14. Diketahui $\overrightarrow{a}$ =3 $\hat{i}$ −2 $\hat{j}$ , $\overrightarrow{b}$ =− $\hat{i}$ +4 $\hat{j}$ , dan $\overrightarrow{r}$ = 7 $\hat{i}$ −8 $\hat{j}$ . Jika $\overrightarrow{r}$ = k $\overrightarrow{a}$ +m $\overrightarrow{b}$ , maka k + m = . . . .

A. 3
B. 2
C. 1
D. −1
E. −2

Pembahasan:

$\overrightarrow{r}=k\overrightarrow{a}+m\overrightarrow{b}$

$7\hat{i}-8\hat{j}=k(3\hat{i}-2\hat{j})+m(-\hat{i}+4\hat{j})$

$7\hat{i}-8\hat{j}=(3k-m)\hat{i}+(4m-2k)\hat{j}$

didapat dua persamaan dengan dua variabel

3k - m = 7

m = 3k - 7...................(1)

4m - 2k = -8 .................(2)

Subsitusi (1) ke dalam (2)

4(3k - 7) - 2k = -8

12k - 28 - 2k = -8

10k = 20

k = 2

m = 3k - 7 dari pers (1)

m = 3.2 - 7

m = -1

k + m = 2 - 1

= 1

Jawaban C

15. $\overrightarrow{a}$ =− $\hat{i}$ +4 $\hat{j}$ , $\overrightarrow{b}$ =2 $\hat{i}$ + $\hat{j}$ , →c=3 $\hat{i}$ −4 $\hat{j}$ , dan $\overrightarrow{x}$ =p $\overrightarrow{a}$ +q $\overrightarrow{b}$ dengan p dan q bilangan real tidak nol. Jika $\overrightarrow{x}$ sejajar $\overrightarrow{c}$ , maka p dan q memenuhi hubungan . . . .

A. 8p−11q=0.
B. 8p+11q=0
C. 8p−11q=0
D. 11p−8q=0
E. 11p+8q=0

Pembahasan:

$\overrightarrow{x}=p\overrightarrow{a}+a\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{x}=p(-\hat{i}+4\hat{j})+q(2\hat{i}+\hat{j})$

$=-p\hat{i}+4p\hat{j}+2q\hat{i}+q\hat{j}$

$=(2q-p)\hat{i}+(4p+q)\hat{j}$

$\overrightarrow{x}\; sejajar\; \overrightarrow{c}$

$\frac{2q-p}{3}=\frac{4p+q}{-4}$

4p - 8q = 12p + 3q

8p + 11q = 0

Jawaban C

16. Diketahui titik A(1,−2,−8) dan titik B(3,−4,0). Titik P terletak pada perpanjangan AB sehingga

$\overrightarrow{AP}$ =−3 $\overrightarrow{PB}$ . Jika $\overrightarrow{p}$ merupakan vektor posisi titik P, maka $\overrightarrow{p}$ = . . . .

A. 4 $\hat{i}$ −5 $\hat{j}$ +4 $\hat{k}$

B. 4 $\hat{i}$ −5 $\hat{j}$ −4 $\hat{k}$

C. −j−12 $\hat{k}$

D. −3 $\hat{i}$ − $\hat{j}$ −12 $\hat{k}$

E. − $\hat{i}$ −5 $\hat{j}$ −2 $\hat{k}$

Pembahasan:

Misalakan titik P ( $x$ , y, z)

$\overrightarrow{AP}=-3\overrightarrow{PB}$

$\overrightarrow{AP}=3\overrightarrow{BP}$

$\overrightarrow{p}-\overrightarrow{a}=3(\overrightarrow{p}-\overrightarrow{b})$

$\begin{pmatrix}x \\y \\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 1 \\-2 \\-8\end{pmatrix}=3\left ( \begin{pmatrix} x \\y \\z\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\-4 \\0\end{pmatrix} \right )$

$\begin{pmatrix} x-1 \\y+2 \\z+8\end{pmatrix}=3\begin{pmatrix} x-3 \\y+4 \\z\end{pmatrix}$

z + 8 = 3z

z = 4

y + 2 = 3y +12

-10 = 2y

y = -5

$x$ - 1 = 3 $x$ - 9

2 $x$ = 8

$x$ = 4

koordinat titik P = ( 4, -5, 4) maka

$\overrightarrow{p}=4\hat{i}-5\hat{j}+4\hat{k}$

Jawaban A

17. Jika $\overrightarrow{u}$ dan →v adalah dua vektor satuan membentuk sudut 30⁰, maka $(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{v}=.....$

$A.\; \frac{3}{2}$

$B.\; \frac{\sqrt{3}}{2}+1$

$C.\; \frac{\sqrt{3}}{2}-1$

$D.\; \frac{\sqrt{2}}{2}+1$

$E.\; \frac{1}{\sqrt{3}}+1$

Pembahasan:

Ingat!! Panjang dari vektor satuan= 1

$(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}).\overrightarrow{v}=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

$=\left|\overrightarrow{u} \right|.\left|\overrightarrow{v} \right|cos\theta +\left|\overrightarrow{v} \right|^{2}$

$=1.1\frac{1}{2}\sqrt{3}+1$

$=\frac{1}{2}\sqrt{3}+1$

Jawaban B

18. Diketahui vektor $\overrightarrow{a}=\begin{pmatrix}p \\2 \\-1\end{pmatrix};\overrightarrow{b}=\begin{pmatrix}4 \\-3 \\6\end{pmatrix};\overrightarrow{c}=\begin{pmatrix}2 \\-1 \\3\end{pmatrix}$ . Jika $\overrightarrow{a}$ tegak lurus $\overrightarrow{b}$ , maka hasil dari ( $\overrightarrow{a}$ −2 $\overrightarrow{b}$ ).3 $\overrightarrow{c}$ adalah . . . .
A. 171
B. 63
C. −63
D. −111
E. −171

Pembahasan:

Karena $\overrightarrow{a}$ tegak lurus $\overrightarrow{b}$ , maka: $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0$

(p, 2, -1) . (4, -3, 6)=0

4p - 6 - 6 = 0

4p = 12

p = 3

$(\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}).3\overrightarrow{c}$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$=\begin{pmatrix}-5 \\8 \\-13\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}6 \\-3 \\9\end{pmatrix}$

= -30 - 24 -117

= -117

Jawaban E

19. Agar vektor $\overrightarrow{a}$ =2 $\hat{i}$ +p $\hat{j}$ + $\hat{k}$ dan $\overrightarrow{b}$ =3 $\hat{i}$ +2 $\hat{j}$ +4 $\hat{k}$ saling tegak lurus, maka nilai p adalah . . . .
A. 5
B. −5
C. −8
D. −9
E. −10

Pembahasan:

Vektor $\overrightarrow{a}$ dan vektor $\overrightarrow{b}$ saling tegak lurus jika sudut antara kedua vektor adalah 90⁰. Ingat perkalian vektor.

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta$

$(2, p, 1)(3, 2,4)=0\to cos\theta\; 90^{\circ}=0$

6 + 2p + 4 = 0

2p + 10 = 0

P = -5

Jawaban B

20. Diketahui vektor →a=4 $\hat{i}$ −2 $\hat{j}$ +2 $\hat{k}$

dan vektor
$\overrightarrow{b}$ =2 $\hat{i}$ −6 $\hat{j}$ +4 $\hat{k}$ . Proyeksi vektor orthogonal vektor $\overrightarrow{a}$
terhadap vektor $\overrightarrow{b}$ adalah . . . .

A. $\hat{i}$ − $\hat{j}$ + $\hat{k}$

B. $\hat{i}$ −3 $\hat{j}$ +2 $\hat{k}$

C. $\hat{i}$ −4 $\hat{j}$ +4 $\hat{k}$

D. 2 $\hat{i}$ − $\hat{j}$ + $\hat{k}$

E. 6 $\hat{i}$ −8 $\hat{j}$ +6 $\hat{k}$

Pembahasan:

Ingat!! jika proyeksi vektor orthgonal vektor $\overrightarrow{a}$ terhadap vektor $\overrightarrow{b}$ adalah $\overrightarrow{c}$ maka:

$\overrightarrow{c}=\frac{\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}}{\left| \overrightarrow{b}\right|^{2}}.\overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{c}=\frac{(4, -2, 2).(2, -6, 4)}{(2^{2}+(-6)^{2}+4^{2})}.(2\hat{i}-6\hat{j}+4\hat{k})$

$\overrightarrow{c}=\frac{28}{56}.(2\hat{i}-6\hat{j}+4\hat{k})$

$\overrightarrow{c}=\frac{1}{2}.(2\hat{i}-6\hat{j}+4\hat{k})$

$\overrightarrow{c}=(\hat{i}-3\hat{j}+2\hat{k})$

Jawaban B

21. Diberikan vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ . Jika | $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ |2= $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ dan (| $\overrightarrow{a}$ |+| $\overrightarrow{b}$ |)2=52| $\overrightarrow{a}$ |.| $\overrightarrow{b}$ |, maka sudut antara vektor $\overrightarrow{a}$ dan $\overrightarrow{b}$ adalah . . . .
A. 30⁰
B. 45⁰
C. 60⁰
D. 90⁰
E. 120⁰

Pembahasan:

Ingat !!!

$\bullet\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right|^{2} =\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{b}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{a}\left|| \overrightarrow{b}\right| \right|cos\theta$

$\bullet \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\left|| \overrightarrow{b}\right| \right|cos\theta$

sehingga

$\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{b} \right|^{2}+2\left| \overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta =\left|\overrightarrow{a} \right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta$

$\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}=-\left| \overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta ............(1)$

Dari:

$\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{b} \right|^{2}+2\left|\overrightarrow{a} \right|.\left|\overrightarrow{b} \right|=\frac{5}{2}\left|\overrightarrow{a} \right|.\left|\overrightarrow{b} \right|$

$\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}+\left| \overrightarrow{b}\right|^{2}=\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a} \right|.\left|\overrightarrow{b} \right|...........(2)$

Subsitusi persamaan (1) kedalam persamaan (2)

$-\left| \overrightarrow{a}\right| \left| \overrightarrow{b}\right|cos\theta =\frac{1}{2}\left|\overrightarrow{a} \right|.\left|\overrightarrow{b} \right|$

$-cos\theta =\frac{1}{2}$

$cos\theta =-\frac{1}{2}$

$Q=120^{\circ}$

Jawaban E

22. Diketahui $\overrightarrow{a}$ + $\overrightarrow{b}$ = $\hat{i}$ − $\hat{j}$ +4^k dan | $\overrightarrow{a}$ − $\overrightarrow{b}$ |=√14. Hasil dari $\overrightarrow{a}$ . $\overrightarrow{b}$ = . . . .
A. 4
B. 2
C. 1
D. 12
E. 0

Pembahasan:

$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\hat{i}-\hat{j}+4\hat{k}$

didapat

$\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right|^{2}=1^{2}+(-1)^{2}+4^{2}$

$\left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right|^{2}=18$

Ingat !!!

$\bullet \left|\overrightarrow{a} +\overrightarrow{b}\right|^{2}=\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}+\left| \overrightarrow{b}\right|^{2}+2\left| \overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta$

sehingga

$\left|\overrightarrow{a} \right|^{2}+\left| \overrightarrow{b}\right|^{2}+2\left|\overrightarrow{a} \right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta =18............(1)$

karena

$\left|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b} \right|=\sqrt{14}$

maka

eliminasi persamaan (1) dan (2)

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$\left| \overrightarrow{a}\right|^{2}+\left|\overrightarrow{b} \right|^{2}-2\left| \overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta =14.............(2)$

~~-------------------------------------------------------------------------~~ -

$4\left|\overrightarrow{a} \right|\left| \overrightarrow{b}\right|cos\theta =4$

$\left| \overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{b} \right|cos\theta =1$

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=1$

Jawaban C

23. A=(−1,5,4); B=(2,−1,−2); C=(3,p,q). Jika titik-titik A, B, dan C segaris, maka nilai p dan q berturut-turut adalah . . . .
A. −3 dan −4
B. −1 dan|−4
C. −3 dan 0
D. −1 dan 0
E. 3 dan 0

Pembahasan:

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}$

= (3, -6, -6)

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{c}-\overrightarrow{b}$

= (1, p + 1q + 2)

$\overrightarrow{AB}$ segaris atau koliner dqp $25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$\overrightarrow{AB}= k\overrightarrow{BC}$

(3, -6, -6) = k(1, p + 1,q + 2)

(3, -6, -6) = (k, k (p+1), k(q + 2))

k = 3

k(p + 1) = -6

3 (p + 1) = -6

3p = -9

p = -9

k (q + 2 ) = -6

3q + 6 = -6

3q = -12

q = -4

jadi p = -3, q = -4

jawaban A

24. Agar kedua vektor $\overrightarrow{a}$ =(x,4,7) dan $\overrightarrow{b}$ =(6,y,14) segaris, haruslah nilai x−y sama dengan . . . .
A. −5
B. −2
C. 3
D. 4
E. 6

Pembahasan:

Vektor $\overrightarrow{a}$ koliner dan vektor $\overrightarrow{b}$ sehingga vektor $\overrightarrow{a}$ = k vektor $\overrightarrow{b}$

( $x$ , 4, 7) = k(6, y, 14)

( $x$ , 4, 7) = (6k, ky, 14k)

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$

$x$ = 6k

$=6.\frac{1}{2}$

= 3

4 = ky

$4=\frac{1}{2}y$

y = 8

$x$ -y = 3 - 8

= -5

Jawaban A

25. Vektor $\overrightarrow{u}$ =(x,y,1) sejajar $\overrightarrow{v}$ =(−1,3,z). Jika $\overrightarrow{u}$ tegak lurus (3, -2, 3), maka y = . . . .

A. 3
B. 1
C. 13
D. −13
E. −1

Pembahasan:

Karena vektor $\overrightarrow{u}$ sejajar $\overrightarrow{v}$ dan $\overrightarrow{j}$ tegak lurus (3, -2, 3) maka $\overrightarrow{v}$ juga tegak lurus (3, -2, 3)

Pertama:

$\overrightarrow{v}$ juga tegak lurus (3, -2, 3)

(-1, 3, z) . (3, -2, 3) = 0

-3 - 6 + 3z = 0

3z = 9

z = 3

Kedua

$\overrightarrow{u}$ sejajar $\overrightarrow{v}$

$25 Soal dan Pembahasan Vektor Matematika kelas 10$