Ringkasan + Soal Pengertian Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

 

Sudut pusat adalah sudut yang dibentuk oleh titik pusat dengan dua titik yang terletak pada lingkaran, sedangkan sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh tiga titik yang terletak pada lingkaran. Perhatikan gambar!

∠AOG, ∠AOF, ∠AOC, ∠COG, ∠FOG adalah contoh sudut pusat.
∠ABG, ∠ADG, ∠CEF, ∠FCE, ∠BGD adalah contoh sudut keliling.

Rumus Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama, maka berlaku:
Sudut pusat=2×sudut keliling  atau

∠AOG=2×∠ABG → sama-sama menghadap busur AG.
∠AOG=2×∠ADG → sama-sama menghadap busur AG.

Sifat-sifat:
1. Semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama.
∠ABG=∠ADG=12×∠AOG → sama-sama menghadap busur AG atau ˆAG.
2. Sudut keliling yang menghadap diameter besarnya 90⁰.
Garis CF merupakan diameter lingkaran, sedangkan sudut CEF menghadap garis CF sehingga ∠CEF=90⁰.

Untuk memperjelas pengertian sudut pusat dan sudut keliling, pelajari contoh soal dan pembahasan sudut pusat dan sudut keliling berikut berikut.

Contoh Soal dan Pembahasan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran
Soal nomor 1:
Perhatikan gambar di bawah!

Diketahui O adalah titik pusat lingkaran. Besar sudut AOB adalah . . . .
A. 15⁰
B. 30⁰
C. 45⁰
D. 60⁰

Pembahasan:
Sudut ACB adalah sudut keliling, sedangkan sudut AOB adalah sudut pusat. Sudut ACB dan sudut AOB sama-sama menghadap busur yang sama, yaitu busur AB. Dengan demikian besar sudut AOB sama dengan dua kali besar sudut ACB.
∠AOB=2×∠ACD=2×30⁰=60⁰
jawab: D.

Soal nomor 2:
Perhatikan gambar!

Titik O adalah titik pusat lingkaran. Diketahui ∠ABE+∠ACE+∠ADE=96⁰. Besar ∠AOE adalah . . . .
A. 32⁰
B. 48⁰
C. 64⁰
D. 84⁰

Pembahasan:
Sudut ABE, sudut ACE, dan sudut ADE adalah sudut-sudut keliling yang sama-sama menghadap busur AE (busur yang sama). Ingat bahwa semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama pasti memiliki besar sudut yang sama. Misalkan:
∠ABE=∠ACE=∠ADE=x
∠ABE+∠ACE+∠ADE=96⁰
x+x+x=96⁰
3x=96⁰
x=32⁰
∠ABE=∠ACE=∠ADE=32⁰

Sudut AOE adalah sudut pusat dan bersama-sama dengan sudut keliling ABE menghadap busur AE (busur yang sama), sehingga:

∠AOE=2×∠ABE

           =2×32⁰

           =64⁰

jawab: C.

Soal nomor 3:
Perhatikan gambar!

Titik P adalah pusat lingkaran. Jika ∠AEB+∠ADB+∠ACB=228⁰, besar ∠APE adalah . . . .
A. 32⁰
B. 28⁰
C. 24⁰
D. 20⁰

Pembahasan:
Sudut AEB, sudut ADB, dan sudut ACB adalah tiga sudut keliling yang menghadap busur yang sama, yaitu busur AB. Perlu diingat bahwa semua sudut keliling yang menghadap busur yang sama memiliki besar sudut yang sama. Misalkan:
∠AEB=∠ADB=∠ACB=x
∠AEB+∠ADB+∠ACB=228⁰
x+x+x=228⁰
       3x=228⁰
         x=76⁰
∠AEB=∠ADB=∠ACB=76⁰

Sudut APB adalah sudut pusat dan bersama-sama dengan sudut keliling AEB menghadap busur yang sama, yaitu busur AB. Dengan demikian:
∠APB=2×∠AEB=2×76⁰=152⁰

∠APB+∠APE=180⁰ → sudut berpelurus.
152⁰+∠APE=180⁰
∠APE=180⁰−152⁰=28⁰
jawab: B.

Soal nomor 4:
Perhatikan gambar!

Titik O adalah titik pusat lingkaran. Garis AC adalah diameter lingkaran. Besar sudut ADB adalah . . . .
A. 37⁰
B. 53⁰
C. 74⁰
D. 106⁰
Pembahasan:
∠AOB+∠BOC=180⁰ → sudut berpelurus.
∠AOB+74⁰=180⁰
∠AOB=180⁰−74o=106⁰

Sudut ADB adalah sudut keliling dan bersama-sama dengan sudut pusat AOB menghadap busur AB (busur yang sama). Sehingga:

              
               =53⁰
jawab: B.

Soal nomor 5:
Perhatikan gambar berikut!

Titik O adalah titik pusat lingkaran. Jika besar sudut ADB =70⁰, maka besar sudut BOC adalah . . . .
A. 30⁰
B. 40⁰
C. 50⁰
D. 60⁰

Pembahasan:
Sudut ADB adalah sudut keliling dan bersama-sama dengan sudut pusat AOB menghadap busur AB (busur yang sama). Sehingga:
∠AOB=2×∠ADB=2×70⁰=140⁰

∠AOB+∠BOC=180⁰ → sudut berpelurus.
140⁰+∠BOC=180⁰
∠BOC=180⁰−140⁰=40⁰
jawab: B.

Soal nomor 6:
Perhatikan gambar di bawah!

Garis AB adalah diameter lingkaran, besar ∠BAC=3x⁰, dan besar ∠ABC=2x⁰. Nilai dari x adalah . . . .
A. 24
B. 20
C. 18
D. 16

Pembahasan:
Sudut ACB adalah sudut keliling yang menghadap diameter, sehingga besar ∠ACB=90⁰.
∠BAC+∠ABC+∠ACB=180⁰ → sudut dalam segitiga.
3x⁰+2x⁰+90⁰=180⁰
               5x⁰=180⁰−90⁰
              5x⁰=90⁰
                 x=18
jawab: C.

Soal nomor 7:
Perhatikan gambar berikut!

Besar ∠PQO=15⁰ dan besar ∠QPR=60⁰, maka besar ∠PQR adalah . . . .
A. 30⁰
B. 45⁰
C. 55⁰
D. 60⁰

Pembahasan:
Sudut QPR adalah sudut keliling dan bersama-sama dengan sudut pusat QOR menghadap busur QR, sehingga:
∠QOR=2×∠QPR=2×60⁰=120⁰

Segitiga QOR adalah segitiga sama kaki karena OR = OQ = jari-jari. Dengan demikian besar ∠OQR=∠ORQ. Misalkan ∠OQR=∠ORQ=x, maka:
∠QOR+∠OQR+∠ORQ=180⁰ → sudut dalam segitiga.
120⁰+x+x=180⁰
2x=180⁰−120⁰
2x=60⁰
x=30⁰

∠OQR=30⁰
∠PQR=∠PQO+∠OQR=15⁰+30⁰=45⁰
jawab: B.

Soal nomor 8:
Perhatikan gambar berikut!

Nilai dari a+b adalah . . . .
A. 45⁰
B. 50⁰
C. 55⁰
D. 60⁰

Pembahasan:
Sudut BAC adalah sudut keliling dan menghadap busur yang sama dengan sudut pusat BOC, sehingga:

Segitiga AOC adalah segitiga sama kaki karena OA = OC = jari-jari, sehingga:
∠CAO=∠ACO=35⁰→ dalam segitiga sama kaki, sudut yang berhadapan sama besar.
∠BAC=∠BAO+∠CAO
60⁰=∠BAO+35⁰
60⁰−35⁰=∠BAO
25⁰=∠BAO
Segitiga OAB adalah segitiga sama kaki, sehingga:
b=∠ABO=∠BAO=25⁰

Segitiga BOC adalah segitiga sama kaki, sehingga:
∠OCB=∠OBC=a
∠BOC+∠OCB+∠OBC=180⁰ → sudut dalam segitiga.
120⁰+a+a=180⁰
2a=180⁰−120⁰
2a=60⁰
a=30⁰
a+b=30⁰+25o=55⁰
jawab: C.

Share :