Turunan Fungsi Aljabar ; Contoh Soal dan Pembahasan

1. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi berikut :
a. f(x) = 8x
b. f(x) = x³
c. f(x) = -4x⁵
d. f(x) = 2x4
e. f(x) = 4x³ - 3x² + 8x -5

Pembahasan
a. f(x) = 8x
⇔ f'(x) = 1.8x¹−¹
⇔ f'(x) = 1.8x⁰
⇔ f'(x) = 1.1
⇔ f'(x) = 1


b. f(x) = x3
⇔ f'(x) = 3.x³-¹
⇔ f'(x) = 3.x²
⇔ f'(x) = 3x²


c. f(x) = -4x⁵
⇔ f'(x) = -4.5x

⇔ f'(x) = -4.5x⁴
⇔ f'(x) = -20x⁴

d. f(x) = 2x⁴
⇔ f'(x) = 2.4x⁴-¹
⇔ f'(x) = 2.4x³
⇔ f'(x) = 8x³

e. f(x) = 4x³ - 3x2 + 8x -5
⇔ f'(x) = 4.3x³-¹ - 3.2x²-¹ + 8.1x¹-¹- 5.1x¹-¹
⇔ f'(x) = 4.3x² - 3.2x¹ + 8.1x⁰ - 5.1x⁰
⇔ f'(x) = 12x² - 6x¹ + 8x⁰ - 5x⁰
⇔ f'(x) = 12x² - 6x + 8 - 0
⇔ f'(x) = 12x² - 6x + 8 

 

2. Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut:
a) f(x) = 15x
b) f(x) = 4
c) f(x) = 12

Pembahasan
a) f(x) = 15x
⇔f(x) = 15x¹
⇔f'(x) = 15x¹⁻¹

⇔f'(x) = 15x⁰
⇔f'(x) = 15

b) f(x) = 4
⇔f(x) = 4x⁰
⇔f'(x) = 0 ⋅ 4x ⁰−¹

⇔f'(x) = 0

c) f(x) = 12
⇔f(x) = 12x0⁰
⇔f'(x) = 0 ⋅ 12x⁰−¹
⇔f'(x) = 0

3. Carilah turunan pertama dari fungsi berikut:
f(x) = 4(2x² + 2x)

Pembahasan
f(x) = 4(2x² + 2x)
f(x) = 8x² + 8x
⇔ f'(x) = 8.2x²-¹ + 8.1x¹-¹
⇔ f'(x) = 8.2x¹ + 8.1x⁰
⇔ f'(x) = 16x + 8

 

Pembahasan:

Dengan demikian :
v = x - 2⇔u' = 1
v = x² + 3 ⇔ v' = 2x

Sehingga Turunannya adalah:

 

 

 

5. Diketahui :  f(x) = x² + 3
                                  2x + 1 

Jika f ‘(x) menyatakan turunan pertama f(x), maka f(0) + 2f ‘ (0) =..?

Pembahasan :
Untuk x = 0 maka nilai f(x) adalah:
f(x) = x² + 3
          2x + 1

 

Sedangkan untuk menentukan turunan terhadap fungsi f(x) yang berbentuk hasil bagi, kita gunakan rumus :

f(x) = u
          v
f(x) = u'v - uv'
              v²

Dengan demikian, kita misalkan :
u = x² + 3 ⇔ u' = 2x
v = 2x + 1 ⇔ v' = 2

Sehingga turunannya adalah:
f(x) = x² + 3
          2x + 1

f'(x) = (2x)(2x+1) - (x²+3)(2)
                    (2x + 1)²
f'(x) = 4x² + 2x - 2x² - 6
                 (2x + 1)²
f'(x) = 2x² + 2x - 6
            (2x + 1)²
Untuk nilai x = 0, maka di dapatkan:

Sehingga f(0) + 2f'(0) = 3 + 2(−6) = − 9 

6. Carilah turunan f'(x) untuk f(x) = (x² + 2x + 3)(4x + 5)

Pembahasan
Misal :
u = (x² + 2x + 3)
v = (4x + 5)

Sehingga didapatkan
u' = 2x + 2
v' = 4

Kemudian kita masukkan ke dalam rumus f'(x) = u'v + uv' sehingga turunannya menjadi :
f'(x) = (2x + 2)(4x + 5) + (x² + 2x + 3)(4)
f'(x) = 8x² + 10x + 8x + 10 + 4x2 + 8x + 12
f'(x) = 8x² + 4x2² + 10x + 8x + 8x + 10 + 12
f'(x) = 12x² + 26x + 22

 

7. Tentukanlah turunan pertama dari fungsi berikut ini :
a. f(x) = 3x¹/²
b. f(x) = 6x³/²

Pembahasan
a. f(x) = 3x¹/²

 

b. f(x) = 6x³/²

 

⇔f(x) = 9x ¹/²

 

8. Tentukanlah turunan pertama f'(x) dari fungsi berikut ini:
a. f(x) = 2
              x

b. f(x) = 1
              4x⁶

Pembahasan :

 

9. Carilah turunan pertama f'(x) dari fungsi-fungsi di bawah ini :
a. f(x) = 6x
b. f(x) = x⁴
c. f(x) = -4x⁵
d. f(x) = 4x³ - 3x² + 8x -5

Pembahasan
a. f(x) = 6x
⇔ f'(x) = 6

b. f(x) = x⁴
⇔ f'(x) = 4x³

c. f(x) = -4x⁵
⇔ f'(x) = -20x⁴

d. f(x) = 4x³ - 3x² + 8x -5
⇔ f'(x) = 12x² - 6x + 8 

10. Jarak yang ditempuh sebuah mobil dalam waktu t ditentukan oleh fungsi:

S(t) = 3t² - 24t + 5

Hitunglah nilai t untuk mendapatkan kecepatan maksimum mobil tersebut

Pembahasan
Untuk mencari kecepatan maksimum, maka persamaan tersebut harus diturunkan:
S(t) = 3t² - 24t + 5

 

 

S'(t) = 6t - 24 = 0
6t = 24
t = 24
      6
= 4 detik

Share :